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1、第4章违背基本假设的情况4.1异方差性产生的背景和原因4.2一元加权最小二乘估计4.3多元加权最小二乘估计4.4自相关性问题及其处理4.5异常值与强影响点4.6本章小结与评注第四章违背基本假设的情况Gauss-Markov条件4.1异方差性产生的背景和原因一、异方差产生的原因例4.1居民收入与消费水平有着密切的关系。用xi表示第i户的收入量,yi表示第i户的消费额,一个简单的消费模型为:yi=β0+β1xi+εi，i=1,2,…,n低收入的家庭购买差异性比较小,高收入的家庭购买行为差异就很大。导致消费模型的随机项εi
2、具有不同的方差。4.1异方差性产生的背景和原因二、异方差性带来的问题当存在异方差时，普通最小二乘估计存在以下问题:(1)参数估计值虽是无偏的,但不是最小方差线性无偏估计;(2)参数的显著性检验失效;(3)回归方程的应用效果极不理想。4.2一元加权最小二乘估计一、异方差性的检验（一）残差图分析法图2.5（b)存在异方差4.2一元加权最小二乘估计一、异方差性的检验（二）等级相关系数法等级相关系数检验法又称斯皮尔曼(Spearman)检验,是一种应用较广泛的方法。这种检验方法既可用于大样本,也可用于小样本。进行等级相关系数检验
3、通常有三个步骤。第一步,作y关于x的普通最小二乘回归,求出ei的估计值,即ei的值。4.2一元加权最小二乘估计（二）等级相关系数法第二步,取ei的绝对值,分别把xi和
4、ei
5、按递增（或递减）的次序分成等级,按下式计算出等级相关系数:其中,n为样本容量,di为对应于xi和
6、ei
7、的等级的差数。4.2一元加权最小二乘估计（二）等级相关系数法第三步,做等级相关系数的显著性检验。在n＞8的情况下,用下式对样本等级相关系数rs进行t检验。检验统计量为:如果t≤tα/2(n-2)可认为异方差性问题不存在，如果t＞tα/2(n-2),
8、说明xi与
9、ei
10、之间存在系统关系,异方差性问题存在。4.2一元加权最小二乘估计例4.3设某地区的居民收入与储蓄额的历史统计数据如表4.1。(1)用普通最小二乘法建立储蓄y与居民收入x的回归方程,并画出残差散点图;(2)诊断该问题是否存在异方差;序号储蓄y（万元）居民收入x（万元）123…3126410590…2300877792109954…382004.2一元加权最小二乘估计序号储蓄y居民收入xxi等级残差ei
11、ei
12、
13、ei
14、等级di126487771169.0169.016-15225210592102-26.6
15、26.63-1139099543-104.6104.67-4164131105084-110.5110.58-4165122109795-159.4159.415-101006107119126-253.4253.423-172897406127477-25.125.1252585031349988.28.217499431142699-129.0129.0900105881552210-78.078.04636118981673011129.7129.71011129501766312102.7102.766361377
16、91857513-145.5145.514-11148191963514-195.3195.319-525151222211631578.478.4510100………………………3123003820031-286.1286.1247494.2一元加权最小二乘估计图4.1残差图4.2一元加权最小二乘估计用SPSS计算等级相关系数。4.2一元加权最小二乘估计（2）计算等级相关系数。4.2一元加权最小二乘估计Spearman等级相关系数可以反映非线性相关的情况，Pearson简单相关系数不能反映非线性相关的情况。例如x与y的取值
17、如下，序号12345678910x12345678910y149162536496481100容易计算出y与x的简单相关系数r=0.9746，而y与x的等级相关系数rs=1具有完全的曲线相关。4.2一元加权最小二乘估计二、一元加权最小二乘估计消除异方差性的方法通常有：加权最小二乘法,Box-Cox变换法,方差稳定性变换法加权最小二乘法(WeightedLeastSquare,简记为WLS)是一种最常用的消除异方差性的方法。4.2一元加权最小二乘估计二、一元加权最小二乘估计一元线性回归普通最小二乘法的残差平方和为：一元线性
18、回归的加权最小二乘的离差平方和为：4.2一元加权最小二乘估计加权最小二乘估计为：其中，是自变量的加权平均；是因变量的加权平均。4.2一元加权最小二乘估计观测值的权数应该是观测值误差项方差的倒数,即在实际问题中,误差项的方差是未知的,常与自变量x的幂函数xm成比例，其中m是待定的未知参数。此时权函数为4
