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1、一般变质量问题的动力学方程与解题方法摘要：对变质量问题的动力学方程提出简单的引入方法，从而得出不同形式的动力学方程，解决不同的变质量运动问题。关键词：变质量，动力学方程，合外力在普通物理及理论力学中的所谓变质量问题，是指与外界有物质交换而使其质量不断发生变化的物体，也正是由于其质量随时间变化而变化这一特点的出现，使学生感到困惑，加强这一内容，不仅能使学生加深对力学基本概念和基本规律的理解，而且可以培养学生分析问题和解决问题的能力。1•变质量物体的动力学方程在普通物理及理论力学的教学过程中，都会遇到有关变
2、质量物体的运动问题，而这类问题的解决过程，则需要用到变质量物体的运动方程，现在我们将求出物体按一定规律变化(减少或增加)时的动力学方程，即变质量物体的动力学方程。设一物质(主体)的质量在t时刻为m,它的速度是y(v«c),同时有一微小质量Am以速度「运动，并在t+At吋间间隔内与m相合并，合并以后的共同速度是p+Ay-如果作用在主体rn及微小质量上的合外力为戶，而内力和约束力恒有大小相等，方向相反，因而可以消去，则由质点的动量定理，可得(1)(2)(3)TTTTT(m+Am)(y+△y)-(my)=p*
3、AtTTTTTTTmy+Z^my+mZ^y+△!?!△y-my-△m比二FTTTTTAm(p-)+mAy+AmAy=F—>由于Am是一微小质量，△p是一微小速度，则y是一二阶微小变量,即可略去，故而(3)式可以写成(4)(5)T—>―>—>Am(y・％)+mAp=At对(4)式两边同时除以可得△"2"a?在(5)式中，使△t-0,对其求极限可得—>AmTTTlimxr(站％)+lim〒m=F△tTOHAt-^OH由于Td(my)即(7)^=Fdtr=mdtdtTdytdm—+5TTdvd(mv)tm=v
4、dtdtdmdt(7)(8)(9)式可以写成tdmfdmd(mp)dmdt(10)化简整理(10)式可得d(m*)_dt-dmdtT(11)综上，可得岀变质量物体的动力学方程有(7)式和(11)式两种形式:形式一：旦GJ)+m业于dtvudtr形式二2•变质量物体运动方程的应用在解决一般变质量问题的过程中，Td(my)dtdm_37T~f常常会遇到一些特殊的情况,这样，使得我们在解决变质量物体的运动问题中会变的简单一些。如-》―>在上面的形式一，即(7)式中，若有v=w，则有Tdutm—p(12)dtr
5、这与常质量物体的运动方程在形式上完全一样。—>在上面形式二，即(11)式屮，若有w=0,则有=F(13)Td(my)-dt此式与质量为定值的质点动量定理的表达形式完全相同，但需注意此处的m是可变的。对于这些特殊情况，我们均可以通过(12)式和(13)式去解决，下面我们通过具体例子体会一下这两式的具体应用过程。例1•长为L的均匀链条伸直的平放在水平光滑桌面上，其方向与桌边缘垂直，此时链条的一半从桌边下垂，起始时整个链条静止。求此链条的末端滑到桌子边缘时,链条的速度vo解：由于链条末端滑到桌子边缘时，此链条
6、上各处的速度都是相同的，且方向都是竖直向下的，设链条的总质量为M,链条的线密度为入，则有M二2L,下垂部分设为兀，这显然是一个变质量问题，取下垂链条兀段作为主体，则主体质量在下滑过程中并入x段的质量dm=AdXo又由于微质量dm和主体彼此相连，故在并—>—>入瞬间微质量dm的速度况与主体的速度u相同，因此该问题可用(12)式求解。合外力戶就是作用在运动物体兀段链条上的外力，即重力G二mg二/Ixg,于是由(12)式可得x段链条的运动方程为T—>AL^-=M-^-=Axg(14)dtdtdx(15)dxd
7、tLvdv=—xdxL又由题意可知x丄,v=0;x=L,v=v2T*是有(16)故此链条的末端滑到桌子边缘时，链条的速度为乎。当然，在本题的这种情况下，用机械能守恒定律和动能定理求解要简单的多,下面分别用这两种方法对该问题加以解决。解法一：利用机械能守恒解决该问题设该链条的总质量为M,取桌面为零重力势能面，根据题意，则有(17)抄专“现”+抄整理化简解得Q3gLv=—2解法二：利用动能定理解决该问题设该链条的总质量为M,下垂段的长度为x,根据题意，则有整理化简解得例2.将质量为M的小球固定在地面上一堆链
8、条的一端，并以初速度必将小球M铅直上抛，已知链条单位长度的质量为入，试求小球能上升的最大高度h。解：根据题意可知，小球M能上升的最大高度就是小球M速度卩二0吋链条被提起的长度L,由于由于进入运动的链条的微质量dm在并入前瞬间的速度匚二0,并入z/v后的速度即为整个运动部分(主体)的速度V(=—)0故本题可用(13)式求解。dt当取％轴由地面向上吋，由方程(13)式可得d(mv)—-—=一阻gdt(其中m=M+Qx)—~:——-=一(M+Ax
