第三章两自由度系统振动

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1、第2次作业1.如图2-1所示，一小车（重P）自高力处沿斜面滑下，与缓冲器相撞后，随同缓冲器一起作自由振动。弹簧常数£,斜面倾角为a,小车与斜面之间摩擦力忽略不计。试求小车的振动周期和振幅。口案•心盛，心屈不叼解：Psinaxo_无0=kT=^=2ng11gk仁对+(五)=＞力V(On2.mo答案:l4k(r+a)2图2-23•确定图2-3系统的固有频率。第2次作业1.如图2-1所示，一小车（重P）自高力处沿斜面滑下，与缓冲器相撞后，随同缓冲器一起作自由振动。弹簧常数£,斜面倾角为a,小车与斜面之间摩擦力忽略不计。试求小车的振动周期和振幅。口案•心盛，心屈不

2、叼解：Psinaxo_无0=kT=^=2ng11gk仁对+(五)=＞力V(On2.mo答案:l4k(r+a)2图2-23•确定图2-3系统的固有频率。第三章两自由度系统振动§3-1概述单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自Itl度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。所谓两自由度糸统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬

3、时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a）、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c）o只要将这些系统中的主要结合而（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图(d)所示的两自由度振动系统的动力学模型。以图3.1(c)所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂

4、轮架内的一个弹簧一一质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧一一质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。在这一系统的动力学模型中，nu是砂轮架的质量，k是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m2是砂轮及其主轴系统的质量，％是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移石及/分别作为各质量的独立坐标。这样石和&就是用以确定磨头

5、系统运动的广义坐标。（工程卖际中两自由度振动糸统）［工程实例演示］§3-2两自由度系统的自由振动一、系统的运动微分方程（九车动力学栈型）②以图3.2的双弹簧质量系统为例。设弹簧的刚度分别为人和置为坐标原点，以向下为正方向。•22XX图3・2双弹簧一质量系统（分析）在振动过程中的任一瞬间t,g和刃2的位移分别为眉及卫。此时，在质量叫上作用有弹性恢复力£內及上2（兀2-州），在质量H12上作用有弹性恢复力心（无2-曲）。这些力的作用方向如图所示。应用牛顿运动定律，可建立该系统的振动微分方程式:(3.1)k2厶mxx{+k{xx-Z:2(x2-)=0m2x2+他

6、(兀2_xJ=0今a=-一^,b=」、则(3.1)式可改写成如下形式：m}x}+k}x}一^2(x2-%,)=0m2x2+心(七_)=0x}+ax}-bx2=0(3.2)x2-cx{+cx2=0这是一个二阶常系数线性齐次联立微分方程组。（分析）在第一个方程中包含-加2项，第二个方程中则包含—CJV］项，称为“耦合项”（couplingterm）。这表明，质量血除受到弹簧A的恢复力的作用外，还受到弹簧k2的恢复力的作用。血虽然只受一个弹簧k2恢复力的作用，但这一恢复力也受到笫一质点血位移的影响。我们把这种位移之间有耦合的情况称为弹性耦合。若加速度之间有耦合的

7、情况，贝！］称之为惯性耦合。二、固有频率和主振型［创造思维：］从单自由度系统振动理论得知，系统的无阻尼自由振动是简谐振动。我们也希望在两自由度系统无阻尼自由振动中找到简谐振动的解。因此可先假设方程组（3.2）式有简谐振动解，然后用待定系数法来寻找有简谐振动解的条件。设在振动时，两个质量按同样的频率和相位角作简谐振动，故可设方程组（3.2）式的特解为：(3.3)兀］=£sin（%+0）^2=4sin（0"0）其中振幅血与他、频率©八初相位角（P都有待于确定。对（3.3）式分别取一阶及二阶导数：x{=A{concos(©f+©);xx=一£研sin(69,/+

8、(p)x2=A2concos(©/+0);x2=一％研sin(©t