高中数学第一章解三角形1.2应用举例课堂探究学案新人教b版必修5

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1、1.2应用举例课堂探究实际问题中度量A，B两点的长度(高度)的方法剖析：(1)求距离问题．如图，当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离．两点间不可到达又不可视两点间可视但不可达两点都不可达①当A，B两点之间不可到达又不可视时，测出两边及其夹角，运用余弦定理求解，则AB＝．②当A，B两点之间可视但不可达时，测出两角及其夹边，先用内角和定理求第三角再运用正弦定理求解．∵∠A＝π－(∠B＋∠C)，∴根据正弦定理，得＝＝＝＝，则AB＝．③当A，B两点都不可达时，先在△ADC和△BDC中分别求出AC，BD，再在△ABC或△ABD中运用余弦定理求解．先求：

2、AD＝×sin∠ACD；再求：BD＝×sin∠BCD；最后：AB＝．名师点拨：将所求距离或方向的问题转化为求一个三角形的边或角的问题时，我们选择的三角形往往条件不够，这时需要我们寻找其他的三角形作为解这个三角形的支持，为解这个三角形提供必要的条件．(2)求高度问题．如图，当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度，有如下情况．底部可达底部不可达7①当BC底部可达时，利用直角三角形的边角关系求解，则AB＝atanC．②当BD不可达时，在Rt△ABD中，BD＝，在Rt△ABC中，BC＝，∴a＝CD＝BC－BD＝－．∴AB＝．③在△BCD中，BC＝×si

3、nD．∵AB⊥BC，∴∠BAC＝－∠ACB．∴在△ABC中，AB＝×sin∠ACB＝×sin∠ACB．∴AB＝×sin∠ACB＝．名师点拨：在测量某物体高度的问题中，很多被测量的物体是一个立体的图形，而在测量过程中，我们测量的角度也不一定在同一平面内，因此还需要我们有一定的空间想象能力，关键是画出图形，把已知量和未知量归结到三角形中来求解．题型一　测量距离问题【例1】如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距km的C，D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两

4、目标A，B之间的距离．7分析：要求出A，B之间的距离，可在△ABC(或△ADB)中去找关系，但不管在哪个三角形中，AC，BC这些量都是未知的，需要在三角形中找出合适的关系式，求出它们的值，然后解斜三角形即可．解：在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝75°＋45°＝120°，∴∠CAD＝30°．∴AC＝CD＝km．在△BDC中，∠CBD＝180°－(45°＋75°)＝60°．由正弦定理，得BC＝＝(km)．在△ACB中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA＝()2＋2－2×cos75°＝5．∴AB＝km．∴两目标

5、A，B之间的距离为km．反思：测量长度(距离)是解三角形应用题的一种基本题型．在解这类问题时，首先要分析题意，确定已知与所求，然后画好示意图，通过解三角形确定实际问题的解；测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题．题型二　测量高度问题【例2】如图所示，在地面上有一旗杆OP，为测得它的高度h，在地面上取一基线AB，AB＝20m，在A处测得P点的仰角∠OAP＝30°，在B处测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高度h．(精确到0．1m)分析：先在Rt△PAO和Rt△PBO中求

6、出AO，BO，再在△AOB中由余弦定理求出h．解：在Rt△PAO中，AO＝＝h．在Rt△PBO中，BO＝＝h．7在△ABO中，由余弦定理，得202＝(h)2＋h2－2h·hcos60°，解得h＝≈13．3(m)．反思：在解三角形的问题时，一定要选择合适的三角形，这样可以简化计算过程，再者还要注意立体几何图形中的边角关系，并选择好三角形的使用顺序．题型三　测量角度问题【例3】如图，甲船在A处，乙船在甲船的南偏东45°方向，距A处9海里的B处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，应沿什么方向，用多少小时能最快

7、追上乙船？(精确到1度)分析：假设用t小时在C处追上乙船，则在△ABC中，AC，BC可用t来表示，进而利用余弦定理求得t，解此三角形即可．解：假设用t小时甲船在C处追上乙船．在△ABC中，AC＝28t海里，BC＝20t海里，∠ABC＝180°－45°－15°＝120°．由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，即(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×，整理，得128t2－60t－27＝0，即(4t－3)(32t＋9)＝0．∴t＝或t＝－(舍去)．∴AC＝28×＝21(海里)，BC＝20×＝15(海里)．由正弦

8、定理，得sin∠BAC＝＝＝．又∠ABC＝120°，7∴∠BAC为锐角，∴∠BAC≈38°．∴45°－38°＝7°．∴甲船应沿南偏东7°