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《相关系数与相关指数的产生和关系》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、2018-03-2808:02:08速读•下旬2018年3期由偏差平方和分解公式我们知道，残差平方和越小，回归平方和就越大，回归变量[y](亦即解释变量X)对预报变量y的贡献就越大，用回归变量[y]作为预报变量y的估计值就越准确，从而x与y的线性相关性就越强。在偏差平方和分解公式的两边同除以[口n(y1-y)]2,我们得到：[i=1n(yi-yi)2i=1n(yi-y)2]+[i=1n(yi-y)2i=1n(yi-y)2]=1<>等式左边第一项是随机课差£对预报变量的贡献率，第二项是冋归变量[y](亦即解释变量x)対预报变量y的贡献率。记：[R2=i=1n(yi-y
2、)2i=1n(yi-y)2]=1-[i=1n(yi-y)2i=1n(yi-y)2]。[R2]叫做和关指数。学习《数学(选修)》，感觉相关系数与相关指数是两大难点，只要突破这两点，线性回归的学习就容易多了。本文沿着课本上用最小二乘法求线性冋归方程的系数的推导做下去，揭示相关系数与相关指数的来龙去脉和它们的关系。已知n组数据[xi,yi],[i=1,2,3,…，n],设线性回归模型为:[y=y+c]0其中[y=a+bx],将这n组数据代入回归模型得：[yi=yi+ci],[i=1,2,3,…,n],其中[yi=a+bxi]。残差平方和[Qa,b]=[i=1ne2i]=[
3、i=1n(yi-yi)2]=[i=1n(yi-a-bxi)2]。记[x=1ni=1nxi],[y=1ni=1nyi],则[Qa,b]=[i=1nyi-y+y-a+bx-bxi-x2]=[i=1nyi-y2]+[ny-a+bx2]+[b2i=1n(xi-x)2]+[2y-a+bx-i=1nyi-y-2by-a+bxi=1nxi-x]-[2bi=1nxi-xyi-y],其中,[2y-a+bx-i=1nyi-y-][2by-a+bx-i=1nxi-x]=[2y-a+bxi=1nyi-y-bxi+bx]=[2y-a+bxi=1nyi-bxi-y-bx]=[2y-a+bxi=
4、1nyi-bxi-ny-bx]=0所以，[Qa,b]=[i=1nyi-y2+ny-a+bx2+b2i=1nxi-x2-2bi=1nxi-xyi-y]=[i=1nyi-y2+ny-a+bx2+i=1nxi-x2b2-2bi=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2]=[i=1nyi-y2+ny-a+bx2+i=1nxi-x2b-i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x22][-i=1nxi-xyi-y2i=1nxi-x2]o由于[xi,i=1,2,3,n]这n个数据一般不会相等(否则这n对数据己经在一条平行于y轴的直线上了，再求回归克线已失去意义)，所以[i=1nxi-
5、x2^0]观察上面最后的表达式，其屮［yi,y,n,x,刈都是常数，而含a,b的兩项是非负数，当且仅当它们等于0时,［Qa,b］取最小值,这就是说,当［b=i=1nxi-xyi-yi=1nxi・x2］,［a=y-bx］时［Qa,b］达到最小值。以上是课本上利用最小二乘法求线性回归方程系数的过程。我们沿着这个思路继续下去，就能得到相关系数和相关指数。一、相关系数r的产生由上面的推导可知,在［b=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2］,［a=y-bx］时，［Qa,b］达到最小值，最小值为［m=i=1nyi-y2-i=1nxi・xyi・y2i=1nxi・x2］=［i
6、=1nyi-y2［1-i=1nxi-xyi-y2i=1nxi-x2i=1nyi-y2］记［r=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2i=1nyi-y2］,则［m=i=1nyi-y21+r2］om的值就是残差平方和的最小值，m的大小就能描述变量［x,y］的线性相关的程度，m越小，变量［x,y］的线性相关程度就越强，m越大，变量［x,y］的线性相关程度就越弱，但是，m是一个有单位的量，同时m的值受样本容量的影响很大，为了使不同的样本和不同的样本容量的数据有一个统一的评判标准，我们选择r来刻画变量［x,y］的线性相关程度，r叫做相关系数，它是一个没有单位的量，并且无论
7、样木容量多大，总有［-18、］越小，m的值就越大，两个变量的线性相关性就越弱，通常，当［Ir
9、>0.75］时认为两个变虽有很强的线性相关关系，当［0.3010、vo.75］时认为两个变量相关性一般，而当［Ir
11、<0.30］时认为两个变量不具有线性相关性。由m与r的关系式我们还可以得到:因为［m>0］,［i=1nyi-y2>0］,所以［1-r2>0］,所以，［IrI<1］o由此可以得出著名的柯西不等式。若［Ir
12、=1］,贝iJ［m=0
