数值变换理论发展简介

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1、数值变换理论发展简介1引言一位著名的科学家曾经说过：人类活动的本质就是对信息进行加工和处理。从信息论的观点看，所谓信息就是客观事物的时间、空间特性的总体反映，而信号则是观察客观事物表达其相应信息的技术手段，也就是信息的载体。信息是通过信号来表达，对信息的加工和处理，也就表现为对信号的加工和处理。目前信号处理广泛应用于许多领域中，比如结构的健康检测和损伤识别；地震信号中的分析和处理；去处信号噪音干扰；图象的压缩;图象的边缘检测；语音信号的分析、变换和综合等。自从1822年傅立叶发表“热传导解析理论”以来，信号分析方法不断

2、改进创新，影响较大的数值变换方法主要有Fourier变换、Garbor变换、小波变换，以及近年得到广泛应用的II订berUluang变换等。本文将简要介绍这四种数值分析方法，总结其各自的特点。2主要数值分析方法介绍2.1Fourier变换Fourier变换的理论是人类数学发展史上的一个里程碑，从1807年开始，直到1966年（1807年Fourier提出任意一个周期函数都可以表示为Fourier级数的结论是有误的，直到1966年才证明了厶'可积的周期函数才能表示为Fourier级数），整整用了一个半世纪多，才发展成熟。

3、它在各个领域产生了深刻的影响，一度被认为是信号处理领域中最完美、应用最广泛、效果最好的一种手段。Fourier理论不仅仅在数学上有很大的理论价值，更重要的是Fourier变换或Fourier积分得到的频谱信息具有物理意义。Fourier变换表述为：任意一个周期为T（二2龙）的函数/'⑴，都可以用三角级数表示：R=-co乙oo+Xakcoskt8+Y如sinM(1)q二召L•⑴严恥2龙1(2)ak=c7+5hk=i(Ck-C_k)⑶傅立叶变换是一种纯频域的分析方法，他在频域内的定位性是完全准确的（即频域分辨率最高）。然而

4、傅立叶理论不可避免地具有一定的局限性，主要表现为以下两点：（1）Fourier变换的三种形式中的Fourier系数都是常数，不随时间t变化，因而只能处理频谱成分不变的平稳信号，相反的，在处理非平稳信号时会带来很大误差，甚至与实际情况大相径庭。（举例：无阻尼与有阻尼的单自由度的自由振动、打秋千、座钟、讨论会与大合唱等）。在实际信号中，若高频与低频差别很大，在相同的时间间隔内，高频信号衰减了而低频信号尚未衰减，所以，在不同时刻，信号的频谱成分是不同的。硬要用Fourier变换找出所有时刻的频谱成分，硬要把幅值的变化用频率的

5、变化来补偿，不仅高频的Fourier系数有误差，低频的Fourier系数也有很大误差，包括求出的频率当然也有误(2)求Fourier系数是全时间域上的加权平均，这从对于离散的时程/⑴，即N个离散的测点值九可以清楚看到。局部突变信息被平均掉了，局部突变信息的作用很难反映出来。差别很大的信号，如方波、三角波、正弦波，都可以得到相同的频率，所以，处理、捕捉突变信号如故障信号，灵敏度很差。处理、捕捉突变信号应使用能反映局部信息的变换。为了克服以上两点局限性，这就要求：(1)将变换系数视为随时间变化的，级数求和由一重变为两重。(

6、2)使用能反映局部信息的变换，则函数组不能使用全域上的函数，只能使用有所谓紧支撑的函数，即加窗Fourier变换的窗函数或“小波函数”。2.2Garbor变换(窗口Fourier变换)D.Garbor注意到了Fourier变换公式的不足，在其1946年发表的论文中，为了提取信号的Fourier变换的局部信息，引入了一个时间局部化的Gaussian函数作为“窗函数”g(t~b),其中参数b用于平移动窗以便覆盖整个吋间域。该时间函数在有限区间外恒等于罕(紧支集).或很快趋于零。用g(t-n)与待分析函数f(t)相乘，其作用

7、相当于在处开了个“窗口”，如图1所示，然后再对乘积进行Fourier变换。Gf^r)=f(t)g(t-T)eiMdt(4)R式⑷中，Gf(3,T)表示的是"Z丿以T为中心，左右为At局部吋域内的频率(频谱)特征，式(4)的反演公式为=dw严g(/-T)dt(5)因为一个Gaussian函数的Fourier变换还是Gaussian函数，所以Fourier逆变换即频率也是局部的。由于窗口Fourier变换的窗口位置是随厂而变化的，这一特性满足了研究信号不同时段局部性质的要求。显示了窗口Fourier变换在这一方面较Fo

8、urier变换的优越之处。在窗口Fourier变换的基础上,人们又构造了多种形式的窗口函数，这一类窗口Fourier变换统称为短时Fourier变换，简记为STFT。注意到窗口Fourier变换的形状与大小都是保持不变的(见图)，而常识告诉我们，在研究高频佰号的局部性质时，窗口应开的小一些，在研究低频信号的局部性质时，窗FI应开的