马克思扩大再生产理论的数学解释

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1、马克思扩大再生产理论的数学解释【摘要】本文尝试用数学方法来描述马克思扩大再生产规律。从扩大再生产理论的一些假定出发，研究发现预付资本的增长率与利润率、积累率成正比，两大部类扩大再生产应满足增长速度相等的条件。考虑到利润率趋于下降的规律，建立资本增长存在着上限的logistic模型。最后证明了资本周转与利润率的关系。【关键词】扩大再生产资本增长两大部类马克思在《资本论》第一卷第七篇以及第二卷第三篇等篇章中，对剩余价值转化为资本进行扩大再生产进行了分析；在第三卷中对利润率趋于下降的规律作出了分析。在此基础上，本文试图建立一个分析预

2、付资本的增长方式的模型。:学表述马克思在《资本论》中谈到：“要积累，就必须要有一部分剩余产品转化为资本。”假设初始的情况是资本家先投入预付资本K，转化为不变资本C和可变资本V，并得到剩余价值M。设e为资本家将一部分剩余价值M转化为追加预付资本AK的积累率（剩余价值分为资本和收入的比例），即：△K=0M（1）又设资本价值构成为A=c/V，剩余价值率为01’，贝IJ:K二C+V=（1+入）V（2）二、静态分析假设积累率？兹、资本构成比率A和剩余价值率m’是不变的，因而利润率r也不变。则由（6）式，预付资本的增长率是不变的。在离散变

3、量的情况下，上述差分方程可以写成：Kn二（1+?兹10Kn-1它是一个等比数列，从而：Kn=K0（l+0r）n（7）此处，n表示年份，取值为正整数。则预付资本将以指数函数的形式增长：K(t)=KOe0rt(8)由以上公式，可以得到可变资本V、不变资本C及商品价值W的表达式：Vn=V0（l+?#r）nCn=C0（1+?兹r）nWn=W0（1+?兹r）n或者V(t)=VOe0rtC(t)=C0e0rtW(t)=WOe0rt因此，预付资本K、可变资本V、不变资本C和产出W的增长率都等于?兹r。《资本论》关于扩大再生产分析给出了一个例

4、子，其中第一部类有：I4000C+1000V+1000M=6000有机构成X1=4，m’=100%，㊀1=50%,可得rl=l/5，增长率为。三、两大部类的积累和交换在分析扩大再生产时，马克思提出了再生产的平衡条件和平衡公式：I(V+M)=IIC+IAC+IIAC(9)设第二部类的不变资本C2有如下函数：C2=C02(l+02r2)n或C(t)=C02e02r2t(10)根据(6)式和连续变量假设，条件(9)可改写为：(1+ml’-0lrlXI)VOle0lrlt=C2+AC2(11)因此，两个部类的资本增长速度应该是相等的，

5、即：01rl=02r2（12）并且两个部类的不变资本C、可变资本V和商品价值W等将保持固定比例：四、动态分析由（6）式可知，影响资本增长速度的因素主要是积累率和利润率，而利润率又是由剩余价值率和资本构成决定的。在静态分析中，假设资本构成是不变的，从而资本的增长率固定。在动态分析中，资本构成是变化的，因而利润率以及资本增长率也是变化的。“一旦资本主义制度的一般基础奠定下来，在积累过程中就一定会出现一个时刻，那时社会劳动生产率的发展成为积累的最强有力的杠杆”。“社会劳动生产率的水平就表现在一个工人在一定时间内，以同样的劳动力强度使

6、之转化为产品的生产资料的相对量。工人用来进行劳动的生产资料的量，随着工人的劳动生产率的增长而增长”，即资本技术构成的增加。从上述分析中可知，随着资本增长和资本构成增加，根据第（5）式，利润率将下降。为此，假设利润率与资本的数量负相关，用一阶线性方程表示如下:r=ci-M（13）式中，a和为常数，K为预付资本数量。连续变量的情况下，根据第（6）式，并带入第（13）式，可得资本增长率的方程：五、周转与利润率连续变量的情况下，预付资本将以指数函数的形式增长，如（8）式所示。其中，r为年利润率，t为资本积累（或周转）年数（t=0，1，

7、2，…）。如果一年周转一次的话（t=l），则一年之后预付资本为：Kl=KOe0ro如果预付资本在一年之中周转n次（t=n）,其利润率为r’，则一年之后：Kl=KOe0r’n。因此，年利润率r应为利润率r’的n倍，即：r=nr六、结论本文用数学方法来分析马克思再生产理论，并建立了一个模型，该模型表明预付资本的增长率取决于积累率与利润率之积在静态条件下求解模型，得到资本增长的方式，并指出两大部类在扩大再生产过程中必须保持相同的增长率。因此利润率高的部类其积累率应低，而利润率低的部类其积累率应高。考虑到利润率随资本数量增加而趋于下

8、降的规律，通过负的线性方程的简化假设，得出资本增长的Logistic模型。该模型表明，从长远来看，资本增长存在着某种极限。最后，本文对资本周转与利润率的关系做了数学论证，一年周转n次的资本，其年利润率应为利润率的n倍。（注：本文入选XX首届中国政治经济学年会教师征文。）【参考