规范训练(湘教版选修1-2).doc

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1、5.1.1归纳1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆,如图所示,○○○●●○○○●●○○○…,按这种规律往下排,那么第36个圆的颜色应是(  ).A.白色B.黑色C.白色可能性大D.黑色可能性大解析 周期为5,36=7×5+1,第一个是白色.答案 A2.由集合{a1},{a1,a2},{a1,a2,a3},…的子集个数归纳出集合{a1,a2,a3,…,an}的子集个数为(  ).A.nB.n+1C.2nD.2n-1解析 集合{a1}的子集有∅,{a1}共两个,{a1,a2}的子集有∅,{a1},{a2},{a1,a2}共4个,集合{a1,a2,a3}的子集共8个,猜测n

2、个元素的集合的子集有2n个,故选C.答案 C3.根据给出的数塔猜测123456×9+7等于(  ).1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=1111112345×9+6=111111A.1111110B.1111111C.1111112D.1111113解析 由数塔运算积的知识易得B为真.答案 B4.从1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52中,可得一般规律为________.解析 左边第n个式子首项是n,共2n-1个连续的正整数的和,右边为(2n-1)2.答案:n+(n+1)+…+(3n-2)=(2n-1)2(n∈

3、N+)5.已知=2,=3,=4,…,若=6(a,b均为实数),推测a=________,b=________.答案 6 356.设Sn=+++…+,写出S1,S2,S3,S4的值,归纳并猜想出结果,并给出证明.解 n=1,2,3,4时,S1=,S2=,S3=,S4=.猜想:Sn=.证明如下:=-,∴Sn=+++…+=1-=.7.设n是自然数,则(n2-1)[1-(-1)n]的值(  ).A.一定是零B.不一定是整数C.一定是偶数D.是整数但不一定是偶数解析 当n=0时,值为0.当n=1时,值为0,当n=2时,值为0,当n=3时,值为2,当n=4时,值为0,当n=5时

4、,值为6.答案 C8.(2011·江西)观察下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,…,则52011的末四位数字为(  ).A.3125B.5625C.0625D.8125解析 55=3125,56=15625,57=78125,58的末四位数字为0625,59的末四位数字为3125,510的末四位数字为5625,511的末四位数字为8125,512的末四位数字为0625,…,由上可得末四位数字周期为4,呈现规律性交替出现,∴52011=54×501+7末四位数字为8125.答案 D9.(2011·山东)设函数f(x)=(x>0),观察f1(x

5、)=f(x)=,f2(x)=f[f1(x)]=,f3(x)=f[f2(x)]=,f4(x)=f[f3(x)]=,…根据以上事实,由归纳推理可得:当n∈N*且n≥2时,fn(x)=f[fn-1(x)]=________.解析 先求分母中x项系数组成数列的通项公式,由1,3,7,15…,可推知该数列的通项公式为an=2n-1,又函数结果分母中常数项依次为2,4,8,16,…,故其通项公式为bn=2n.∴fn(x)=.答案 10.(2010·陕西)观察下列等式:13+23=32 13+23+33=62 13+23+33+43=102……,根据上述规律等五个等式为_____

6、___.解析 由已知得:13+23=(1+2)213+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43=(1+2+3+4)2,……所以第五个等式为:13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212即:13+23+33+43+53+63=212答案 13+23+33+43+53+63=21211.观察以下等式:sin230°+cos260°+sin30°·cos60°=,sin240°+cos270°+sin40°·cos70°=,sin215°+cos245°+sin15°·cos45°=.…写出反映一般规律的等式,并给予证明.解 反映一

7、般规律的等式是(表述形式不唯一):sin2α+cos2(α+30°)+sinα·cos(α+30°)=.证明如下:sin2α+cos2(α+30°)+sinα·cos(α+30°)=sin2α+(cosα·cos30°-sinα·sin30°)2+sinα·(cosαcos30°-sinα·sin30°)=sin2α+2+sinα·cosα-sin2α=sin2α+cos2α+sin2α-sinα·cosα+sinα·cosα-sin2α=(sin2α+cos2α)=.12.(创新拓展)在数列{an}中,a1=1,an+1=,n∈N+,求a2,a3,a4并猜想数

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