相似原理与量纲分析1

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1、第四章相似原理与量纲分析§4-1相似的基本概念§4-1相似的基本概念相似系统：模型与原型之间必须具有：⑴外形必须几何相似。⑵运动状态、力的作用情况必须相似。⑶表征同类物理性质的量必须具有同一比值。⑴外形必须几何相似：模型和原型的任何相应的线性长度具有同一比例。长度比尺（缩小倍数）：面积比尺：体积比尺：§4-1相似的基本概念⑵运动相似（运动状态相似，速度、加速度必须平行且具有同一比例）：速度相似比尺：加速度相似比尺：⑶动力相似（力的方向必须相互平行，且具有同一比例）压力比尺：§4-2相似准则§4-2相似准则一、牛顿相似准则可以写成：（无量纲数

2、）将上式展开：牛顿数：若两个水流不仅几何相似，而且是动力相似的，则他们的牛顿数必须相等；反之亦然，称为牛顿相似准则。§4-2相似准则二、雷诺准则（粘滞阻力相似准则）粘性阻力比尺：水流动力相似的必要条件：粘性阻力的比尺与惯性阻力的比尺为同一相似比尺。即：CT=CF则：得：也可写成：雷诺数：雷诺数反映了惯性力与粘性力之比。§4-2相似准则三、佛汝德相似准则（重力相似准则）则：得：也可写成(Fr)p=(Fr)m重力与惯性力之比值为同一常数Fr表明了惯性力与重力之比（佛汝德数）§4-2相似准则四、欧拉相似准则（总压力P不可忽略时）则:即：或：要满足

3、动力相似，必须(Eu)p=(Eu)m欧拉数反映了压力与惯性力的比值若两个流动同时受粘性力、重力和压力作用，要同时满足Re、Fr、Eu准则，才能实现动力相似。§4-3相似原理的应用§4-3相似原理的应用一、考虑重力起主要作用的重力相似准则即是Fr数相等（原型和模型）在地球上gp≈gm∴流量比尺：时间比尺：§4-3相似原理的应用二、考虑粘性阻力起主要作用的粘性力相似准则要求原、模型的雷诺数相等。一般原、模型中的流体性质相同即如：若模型比原型缩小20倍，则模型的流速要比原型大20倍。不易做到。流量比尺：时间比尺：§4-3相似原理的应用对同时受重力

4、和粘性力作用的液体，应当同时满足Re和Fγ准则，才能保证流动相似，但Fr准则要求而Re准则要求二者不能同时满足解决的办法是采用不同的流体进行实验，同时满足Fr和Re准则则有：和则：§4-3相似原理的应用才能同时满足Fr和Re准则。实际要做到这一点几乎是不可能的§4-3相似原理的应用例1有圆管直径为20cm,输送ν=0.4cm2/s的油液.流量为12L/s.若在实验室中用5cm直径的圆管作模型实验.假如采用⑴20℃的水.或⑵空气(=0.17cm2/s)作实验流体,则模型中流量各为多少才能满足粘滞力作用的相似？解：几何比尺：由雷诺相似准则：即:

5、§4-3相似原理的应用1、模型用水做实验，20℃vm=0.0101cm2/svp=0.4cm2/s,QP=12L/s2、用空气做实验：vm=0.17cm2/s,§4-3相似原理的应用例二：水流自坝顶下泄，流量Qp=1000m3/s,如取模型与原型尺度比,求模型对应的流量为多少?若模型水头Hm=8.4cm求原型对应的水头Hp为多少？解：主要受重力作用，应为Fr相等.∵∵§4-3相似原理的应用(m3/s)(m)§4-4无量纲数§4-4无量纲数任何一个物理量的量纲公式可以表示为：〔X〕=〔LαTβMγ〕称为量纲公式α≠0，β=0，γ=0代表一个几

6、何学的量β≠0，γ=0代表一个运动学的量γ≠0代表一个动力学的量若α=0，β=0，γ=0则〔X〕=〔L0T0M0〕=1例：气体等温压缩所做的功W可以写成对数形式：§4-5量纲和谐原理量纲和谐原理：凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的。量纲和谐原理的重要性：1、一个方程在量纲上是和谐的，则方程的形式不随量度单位的改变而改变。2、量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。3、量纲和谐原理可用来建立物理方程式。§4-5量纲和谐原理谢才公式:式中：而在曼宁公式中C值用公制和英制就具有不同的结果。量纲不和谐的例子：§4-6量纲分

7、析之一----雷立法§4-6量纲分析之一-----雷立法如果根据理论分析和实验得知反映某一物理现象的各有关因素（变量）的数目并假定这一物理过程的方程可以用变量的幂乘积形式来表示即：(式中的k为无量纲系数,α1、α2…αn为待定的指数。)则由量纲和谐原则得出结论：方程式等号两边的变量积的基本量纲的指数必然相等。据此，可确定指数α1，α2，α3…αn的数值和方程式的具体形式，这种方法为雷立首先建立称为雷立法。雷立法应用步骤：1、列出与物理现象有关的变量，用变量幂乘积的函数形式来表示该物理方程式：2、将各变量的量纲化为基本量纲，写出量纲方程式；3

8、、根据量纲和谐条件，写出基本量纲的和谐方程式，联立求出各变量的指数；4、代入原假设的函数式，整理简化，即得反映该物理现象的公式。§4-6量纲分析之一-----雷立法例：确定液流由