小波理论及小波滤波去噪方法

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1、第九章小波理论及小波滤波去噪方法§0引言§9.1从傅里叶变换到小波分析§9.2小波变换第九章小波理论及小波滤波去噪方法目前，信号处理已经变成了当代科学技术发展的重要部分。对新红进行分析或分解是了解和掌握信号特征和性质的基本方法。在信号分析中，变换就是寻求对于信号的另一种表示，使得比较复杂的、特征不够明确的信号在变换后的形式下变得简洁和特征明确。信号有两类：一类是稳定变化的信号；另一类是具有突变性质的、非稳定变化的型号。对于稳定变化的信号，知识研究线性不变算子，工程商最常使用的一种变换——傅里叶变换0前言第九

2、章小波理论及小波滤波去噪方法傅里叶变换1807年，傅里叶提出任何函数都能用一组正余弦函数的和来表示，其最直接的影响就是再数学分析领域中的应用。傅里叶变换是将信号分解呈不同频率的数学方法。它可以将时域中某一信号变换至频域中，并予以定量认识和分析，还能描述信号的整体频谱特征。因此傅里叶变换是众多科学领域（特别是信号处理、图形处理、量子物理等）里重要的应用工具之一。第九章小波理论及小波滤波去噪方法傅里叶变换傅里叶逆变换f(t)表示时间信号或函数，其中t表示时间域自变量，对应的F（w）表示相应环视或信号的傅里叶变换

3、，w表示频域自变量第九章小波理论及小波滤波去噪方法傅里叶变换属于谐波分析；正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法。傅里叶变换特点第九章小波理论及小波滤波去噪方法§9.1

4、从傅里叶变换到小波分析9.1.1短时傅里叶变换傅里叶变换能提取出函数在整个频率轴上的频率信息，却不能反映信号在局部时间范围内的特征。（因为傅里叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变部分）。然而对于变频信号如音乐、地震信号、雷达回波等，此时所关心的是什么时刻奏什么音符，发出什么样的音节；对地震信号，人们所关心的是在什么位置出现什么样的反射波。假设用傅里叶变换非平稳信号，则不能提供完全的信息，即通过傅里叶变换可以知道信号所含有的频率信息，但是无法知道这些频率信息究竟出现在哪些时间段上。这样在信号分析中面临一对最

5、基本的矛盾：时域和频域的局部化矛盾。它们的频域特性都随时间而变化。分析它需要提取某一时间段的频域信息或某一频率段所对应的时间信息实际采集的地震信号第九章小波理论及小波滤波去噪方法9.1.1短时傅里叶变换为了克服傅里叶分析的局限性，使其对非平稳信号也能作较好的分析，通过对信号在时域上加一个窗函数，使其对信号进行乘积运算以实现在套附近的开窗和平移，再对加窗的信号进行傅里叶分析，这就是短时傅里叶变换（short-timeFouriertransform，简称STFT），或者加窗傅里叶变换。采用高斯函数作为窗口函数

6、，其相应的傅里叶变换仍旧是高斯函数，从而使短时傅里叶变换在时域和频域内均有局域化功能§9.1从傅里叶变换到小波分析第九章小波理论及小波滤波去噪方法9.1.1短时傅里叶变换STFT的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅里叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。其表达式为其中公式上角“*”表示复共轭，g(t)是有紧支集的函数，f(t)为进入分析的信号，在这个变换中，于傅里叶变换的基函数前乘上一个时间上有限的时限函数g(t)（窗函数），然后将其作为分析工具，这样e-iwt起频限作用，g(

7、t)起时限作用，合在一起起时频分析作用。§9.1从傅里叶变换到小波分析第九章小波理论及小波滤波去噪方法其中公式上角“*”表示复共轭，g(t)是有紧支集的函数，f(t)为进入分析的信号，在这个变换中，于傅里叶变换的基函数前乘上一个时间上有限的时限函数g(t)（窗函数），然后将其作为分析工具，这样e-iwt起频限作用，g(t)起时限作用，合在一起起时频分析作用。随着时间τ的变化，g(t)所确定的“时间窗”在t轴上移动，使f(t)“逐渐”进行分析。大致反映了f(t)在时刻“τ”时，频率为“w”的“信号成分”的相对

8、含量。§9.1从傅里叶变换到小波分析第九章小波理论及小波滤波去噪方法这样信号在窗函数上的展开就可以表示为在[τ-δ，τ+δ]、[w-ε，w+ε]这一区域内的状态，并把这一区域称为窗口，δ，ε分别称为窗口的时宽和频宽，表示了时域分析中的分辨率，窗宽越小则分辨率就越高。很显然，希望δ，ε都非常小，以便有更好的时频分辨效果，但海森堡测不准原理指出δ，ε是互相制约的，两者不可能同时都任意小。§9.1从傅里叶变换到小波分析