2018年高考数学一轮复习第九章解析几何9.4直线与圆、圆与圆的位置关系学案理

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1、§9.4　直线与圆、圆与圆的位置关系考纲展示►　1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．考点1　直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：________、________、________.(2)两种研究方法：(3)圆的切线方程常用结论：①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.②过圆(x－a)2＋(y－b

2、)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.答案：(1)相交　相切　相离(2)①相交　相切　相离　②相交　2-13-相切　相离(1)[教材习题改编]圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是(　　)A．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心D．相离答案：B解析：由题意知，圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距

3、离d＝＝<，且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．(2)[教材习题改编]圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为________．答案：x－y＋2＝0解析：圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P在圆上．易知切线的斜率存在，设切线方程为y－＝k(x－1)，即kx－y－k＋＝0，∴＝2，解得k＝，∴切线方程为y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0.圆的切线：注意切线的条数．过点(2,3)作圆x2＋y2＝4的切线，则切线方程为________．答案

4、：5x－12y＋26＝0或x－2＝0解析：当切线斜率不存在时，可得切线方程为x－2＝0.当切线斜率存在时，设切线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，由圆心到切线的距离等于半径得＝2，解得k＝，所以切线方程为y－3＝(x－2)，-13-即5x－12y＋26＝0.综上可知，切线方程为5x－12y＋26＝0或x－2＝0.[典题1]　(1)[2017·湖北七市联考]将直线x＋y－1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l，则直线l与圆(x＋3)2＋y2＝4的位置关系是(　　)A

5、．相交B．相切C．相离D．相交或相切[答案]　B[解析]　依题意得，直线l的方程是y＝tan150°(x－1)，即x＋y－1＝0，圆心(－3,0)到直线l的距离d＝＝2，因此该直线与圆相切．(2)[2017·陕西西安一模]直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置关系是(　　)A．相切B．相交C．相离D．不确定[答案]　B[解析]　解法一：x2＋y2－2x＋2y－7＝0化为圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝9，故圆心坐标为(1，－1)，半径r

6、＝3，圆心到直线的距离d＝＝.再根据r2－d2＝9－＝，而7a2－4a＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180＜0，故有r2＞d2，即d＜r，故直线与圆相交．解法二：由(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)，整理得x－y＋a(x＋y＋2)＝0，则由解得即直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)过定点(－1，－1)，又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7＝－5＜0，则点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的内部，故直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a

7、＝0(a∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0相交．(3)已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.①求证：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；-13-②求直线l被圆C截得的最短弦长．解法一：①[证明]　由消去y，得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，因为Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)>0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．②[解]　设直线与圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长

8、AB

9、＝

10、x1－x2

11、＝2＝2

12、，令t＝，则tk2－4k＋(t－3)＝0，当t＝0时，k＝－；当t≠0时，因为k∈R，所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，故t＝的最大值为4，此时

13、AB

14、最小为2.则直线l被圆C截得的最短弦长为2.解法二：①[证明]　因为不论k为何实数，直线l总过点P(0,1)，而

15、PC

16、＝<2＝r，所以点P(0,1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．②[解]　由平面几何知识知，过圆内定点P(0,1