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《高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介课堂导学案新人教a版选修4-4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、四 柱坐标系与球坐标系简介课堂导学三点剖析一、已知直角坐标求柱坐标【例1】设点M的直角坐标为(1,1,3),求它的柱坐标.解：由变换公式得ρ2=x2+y2=12+12=2,∴ρ=.又tanθ==1,∴θ=(M在第Ⅰ卦限).故M的柱坐标为(,,3).温馨提示可以看出,球坐标系与柱坐标系都是在空间直角坐标系的基础上建立的.在直角坐标系中,我们需要三个长度:(x,y,z),而在柱坐标系与球坐标系中,我们需要长度,还需要角度.它是从长度,方向来描述一个点的位置,需要(ρ,θ,z)或者(r,φ,θ).三种坐标系互相不同,互相有联系,互相能够转化,都是刻画
2、空间一点的位置,只是描述的角度不同.类题演练1设M的直角坐标为(1,,4),求其柱坐标.解:由公式得ρ2=1+3=4,∴ρ=2.又tanθ==,∴θ=.∴柱坐标为(2,,4).变式提升1设M的柱坐标为(2,,7),求直角坐标.解:由公式得ρ2=x2+y2=4,又tan==,∴y=x.∴y2=1.∴y=1,x=.∴直角坐标为(,1,7).4二、已知直角坐标求球坐标【例2】设点M的直角坐标为(1,1,),求它的球坐标.解：由公式得r==2,由rcosφ=z=,得cosφ=,φ=.又tanθ==1,θ=.∴点M的球坐标为(2,,).类题演练2设M的直
3、角坐标为(,-1,1),求它的球坐标.解:由公式得r==2,由rcosφ=z得cosφ=,φ=.又tanθ=,∴θ=π-arctan.∴球坐标为(2,,π-arctan).三、用柱坐标与球坐标解决空间实际问题【例3】已知长方体ABCD—A1B1C1D1的边长为AB=14,AD=6,AA1=10,以这个长方体的顶点A为坐标原点，以射线AB,AD,AA1分别为Ox、Oy、Oz轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C1的空间直角坐标,球坐标,柱坐标.解析：如图,此题是考查空间直角坐标,球坐标,柱坐标的概念，我们要能借此区分三个坐标，找到它们的相
4、同和不同来.C1点的(x,y,z)分别对应着CD,BC,CC1,C1点的(ρ,θ,z)分别对应着AC,∠BAC,CC1，C1点的（r,φ,θ)分别对应着AC1,∠A1AC1,∠BAC.4解:C1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C1点的柱坐标为(,arctan,10)，C1点的球坐标为(,arccos,arctan).温馨提示应当注意,在球坐标系中,当点P在z轴上,θ不确定;点P与坐标原点O重合,φ与θ都不确定.类题演练3经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2384千米，地球半径
5、为6371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P的坐标.解:在赤道平面上，选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立球坐标系,如图.由已知航天器位于经度80°，可知θ=80°，由航天器位于纬度75°，可知φ=90°-75°=15°，由航天器离地面2384千米，地球半径为6371千米，可知r=2384+6371=8755千米.∴点P的球坐标为(8755km,15°,80°).变式提升2两平行平面去截球，如图,在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A(25,arctan,θa)
6、,B(25,π-arctan,θb)，求出这两个截面间的距离.解:由已知,OA=OB=25,∠AOO1=arctan,∠BOO1=π-arctan,在△AOO1中,tan∠AOO1==.∵OA=25,∴OO1=7.在△BOO2中,∠BOO2=arctan,tan∠BOO2==.∵OB=25,∴OO2=20.则O1O2=OO1+OO2=7+20=27.4∴两个截面间的距离O1O2为27.4
