高中数学第三章不等式3.4不等式的实际应用学案新人教b版必修5

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1、3.4　不等式的实际应用1．能把现实世界和日常生活中的不等关系转化为不等式问题，能运用不等式的知识和方法解决常见的实际问题(如比较大小，确定范围，求最值等)．2．了解如何建立数学模型，体会数学知识和客观实践之间的相互关系，培养良好的数学意识和情感态度．1．例题中的结论若b＞a＞0，m＞0，则____.另外，若a＞b＞0，m＞0时，则有＜______成立．【做一做】已知a，b是正数，试比较与的大小．2．不等式解决实际问题的步骤(1)________：用字母表示题中的未知数．(2)__________：找出题中的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)．(

2、3)______________：运用不等式知识求解不等式，同时要注意______________________________．(4)答：规范地写出答案．在解决实际应用问题时，首先要学会正确地梳理数据，从而为寻找数据之间的关系奠定良好的基础，进而建立起相应的能反映问题实质的数学结构，构建数学模型，再利用不等式求解，即解实际应用题的思路为：一、解应用题的流程剖析：数学问题就是数学语言的理解问题，数学语言具有简洁、准确的特点，但同时也具有丰富的内涵，而数学应用题多使用自然语言进行叙述，所以，对文字的理解就显得非常重要，要正确理解应用题的含义主要可以从以

3、下几个步骤入手：(1)略读识大意．应用题实际上是一篇说明文，一般文字比较多，信息量比较大．这就需要快速浏览一遍，理解题目的大意：题目叙述的是什么事，是什么问题(比如不等式问题，是求最值还是要解不等式得出结论等)．条件是什么，求解的是什么，涉及哪些基本概念，可以一边阅读一边写下主要内容，或者列表显示主要条件和要求的结论．5(2)细读抓关键．题目中关键词语和重要语句往往是重要的信息所在，将其辨析出来是实现综合认知的出发点．因此，在略读以后还要对题目进行逐字逐句地细读，弄清具体含义及各量之间的关系．(3)精读巧转换．领会题意的关键是“内部转化”，即把一个抽象

4、的内容转化为一个具体的内容，把符号转化为文字，把文字叙述转化为符号或图表，总之，大脑要有灵活的转化思维．二、常见的不等式实际应用类型剖析：常见的不等式实际应用问题有以下几种：(1)作差法解决实际问题作差法的依据是a－b＞0⇔a＞b，其基本步骤是：①理解题意，准确地将要比较的两个对象用数学式子表示出来．②作差，分析差的符号．③将作差后的结论转化为实际问题的结论．(2)应用均值不等式解决实际问题①均值不等式：a，b∈R＋，≥(当且仅当a＝b时，等号成立)．当ab＝P(定值)，那么当a＝b时，a＋b有最小值2；当a＋b＝S(定值)，那么当a＝b时，ab有最大

5、值S2.②注意利用均值不等式必须有前提条件：“一正、二定、三相等”．为了创造利用均值不等式的条件，常用技巧有配凑因子、拆项或平方．(3)应用一元二次不等式解决实际问题用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤大致为：①理解题意，搞清量与量之间的关系；②建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；③解所列的一元二次不等式得到实际问题的解．在建立不等关系时，一定要弄清楚各种方法的适用范围及未知量的取值范围，不可盲目使用．题型一一元二次不等式的实际应用【例1】某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离sm和汽车车速xkm/h有如下关系：s＝x＋x2

6、.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少(精确到0.01km/h)?分析：由刹车距离直接代入关系式就会得到一个关于x的一元二次不等式，解此不等式即可求出x的范围，即汽车刹车前的车速范围．反思：解答不等式应用题，首先要认真审题，分清题意，建立合理的不等式模型．防止在解答此题时不考虑实际意义而忘记舍去x＜－88.94这一情况．题型二利用均值不等式解应用题5【例2】某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元．问这种汽车使用多

7、少年时，它的年平均费用最少？分析：每年的保险费、养路费等是一个定数，关键是每年的维修费逐年递增，构成一个等差数列，只需求出x年的总费用(包括购车费)除以x年，即为平均费用y.列出函数关系式，再求解．反思：应用两个正数的均值不等式解决实际问题的方法步骤是：(1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)写出正确答案．题型三易错辨析【例3】甲、乙两地水路相距skm，一条船由甲地逆流匀速行驶至乙地，水流速度为常量p

8、km/h，船在静水中的最大速度为qkm/h(q＞p)．已知船每小时的燃料费用(元)与船在静水中