[理学]第十章 力学量本征值问题的代数解法

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1、第十章力学量本征值的代数解法教学内容第1页§1谐振子的Schrödinger因式分解法§2角动量的本征值和本征态§3两个角动量的耦合，Clebsch-Gordan系数§1谐振子的Schrödinger因式分解法一维谐振子Hamilton量为第2页x,p为粒子的坐标和动量算符，满足[x,p]=iħ.设H的本征值为En,归一化的本征态为

2、n>，n=0表示基态。

3、n>就是能量表象下的基矢，满足正交归一化条件，及本征方程引入无量纲算符引入两个新的算符第3页H可以表示成不难验证如果a

4、n>不为0，它是H的本征态，本

5、征值为En-ħω,重复此过程，可知En，En-ħω，En-2ħω……都是能量本征值。H是正定的，可以证明，任何态下，a+a的平均值第4页能量本征值序列必须终止于基态能量E0,即E0-ħω不再是能量本征值，条件为E0=1/2ħω,a+

6、n>也是能量本征态，本征值为En+ħω.重复以上过程，可知En，En+ħω，En+2ħω，……都是能量本征值。从

7、0>态出发，则有H的本征态

8、0>,a+

9、0>,a+2

10、0>,本征值1/2ħω,3/2ħω,5/2ħω即能级分布是均匀的，相邻能级间距为ħω.第5页作用于

11、n>，可

12、得a+a成为量子数算符，记为N.a和a+对能量本征态

13、n>作用后使降ħω或升ħω，即量子数n降1或升1，分别称为降算符和升算符。由此可知，在能量表象中，a,a+，不为0的矩阵元为，第6页亦即算符Q和P表示为第7页x和p可以表示成x和p的矩阵元为第8页

14、n>可用基态表示坐标表象的波函数对于基态第9页用

15、左乘上式，并插入单位算符a在x表象中的表示为解之，得第10页归一化后激发态

16、n>的波函数例：求降算符a的本征态，将其表示成各种能量本征态

17、n>的叠加。第11页解：设a的本征态为

18、α>，本征值为α。令带入本

19、征方程，比较

20、n-1>项的系数，有依次递推，可得得到归一化的本征态，第12页上式称为谐振子的相干态。a不为厄米算符，其本征值α可取复数。§2角动量的本征值和本征态前面介绍了自旋以及自旋与轨道角动量耦合成的总角动量。本节将对角动量的本征值和本征态进行一般讨论。第13页假设算符jx,jy,jz,满足下列对易式，则以jx,jy,jz,作为分量的矢量算符j,称为角动量算符。定义不难证明可以证明第14页由于j2和jz对易，可以求它们的共同本征态，记为

21、λ,m>(a)根据取矩阵元只当，λ’=λ时，才可能不为0.j-,

22、jx,jy,jz也有类似的公式(b)根据第15页两边取矩阵元当m’=m±1，矩阵元才有可能不为0.所以这说明j±使磁量子数增1或减1，称为升算符和降算符。由于jx,jy,jz,j±对于λ是对角化的，下面暂时略去λ。(c)根据第16页两边取矩阵元根据j±矩阵元的选择定则再利用，可知令这个代数方程的解可表为第17页C是与m无关的实数。由于

23、ξm

24、2>=0,所以m(m+1）

25、因此第18页而(d)求(j2,jz)的本征值第19页根据取平均值j2的本征值为j(j+1)ħ2,j取正整数或半奇数。把角动量本征方程的普遍结果总结如下（把

26、λm>记为

27、jm>）第20页(e)矩阵元公式在（j2,jz）表象中，j2和jz是对角矩阵j+的矩阵元为第21页取δ=0，§3两个角动量的耦合，Clebsch-Gordan系数实际问题中经常要考虑一个量子体系中包括两个子系统的角动量或同一体系的两种自由度的角动量耦合，即考虑这些角动量相应磁矩的相互作用。第22页总角动量算符及对易关系设j1和j2是体系的两

28、个角动量算符它们彼此是相互独立的，各分量均可对易总角动量算符的定义是容易证明，总角动量j也满足角动量算符的对易关系第23页总角动量平方算符可以证明但是，j2含有利用这些对易关系可以得到描述体系角动量状态的力学量的完全集。一般地，当体系只有一个角动量时，描述体系角动量状态需要两个力学量组成力学量完全集。若系统有两个子系，各有一个角动量，则系统总角动量状态将涉及四个自由度，要由4个力学量组成力学量完全集。一般可有两种选取方法。无耦合表象和耦合表象若选择j12,j1z,j22,j2z构成力学量完全集,以

29、j1,

30、m1>表示j12,j1z,的共同本征态，以

31、j2,m2>表示j22,j2z,的共同本征态，而将j12,j1z,j22,j2z的共同本征态记为第24页相应的本征值方程为：给定j1,j2,m1有2j1+1个取值，m2有2j2+1个取值，因此

32、j1,m1,j2,m2>有(2j1+1)(2j2+1)个分量。以正交归一完备系{

33、j1,m1,j2,m2>}为基矢的表象称为无耦合表象。若选择相互对易的j12,j22,j2,jz为对易力学量完