第十三章 幂级数解法 本征值问题

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1、第十三章幂级数解法本征值问题13.1二阶常微分方程的幂级数解法13.1.1幂级数解法理论概述用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输运方程进行变量分离，就出现连带勒让德方程、勒让德方程、贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数方程．用其他坐标系对其他数学物理偏微分方程进行分离变量，还会出微分方程．这向我们提出求解带初始条件的线性二阶常现各种各样的特殊函数方程．它们大多是二阶线性常微分方程定解问题.不失一般性，我们讨论复变函数的线性二阶常微分方程（13.1.1）其中为复变数，为选定的点，为复常数．这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出，但可用

2、幂级数解法解出．所谓幂级数解法，就是在某个任意点的邻域上，把待求的解表为系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系数．幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，可借助于解析函数的理论进行讨论．求得的解既然是级数，就有是否收敛以及收敛范围的问题．尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微分方程的求解问题中．1．方程的常点和奇点概念定义13.1.1常点奇点如果方程（13.1.1）的系数函数和在选定的点的邻域中是解析的，则点方程（13.1.1）的常点.如果选定的点是或的奇点，则点叫作方程（13.1.1）的奇点．叫作2.常点邻域上的幂级数解定理定理13.1.

3、1若方程（13.1.1）的系数关于线性二阶常微分方程在常点邻域上的级数解，有下面的定理．和为点的邻域中的解析函数，则方程在这圆中存在唯一的解析解满足初始条件，其中是任意给定的复常数．故可以把它表示为此邻域上的泰勒级数.既然线性二阶常微分方程在常点的邻域上存在唯一的解析解，（13.1.2）其中为待定系数为了确定级数解（13.1.2）中的系数，具体的做法是以（13.1.2）代入方程（13.1.1），合并同幂项，令合并后的系数分别为零，找出系数之间的递推关系，最后用已给的初值，来确定各个系数从而求得确定的级数解．下面以阶勒让德方程为例，具体说明级数解法的步

4、骤．15．1．2常点邻域上的幂级数解法勒让德方程的求解注明：推导解的过程仅供了解求解的方法，读者可直接参考其结论.由分离变量法得到了勒让德方程，下面讨论在邻域上求解阶勒让德方程即为故方程的系数在，单值函数，均为有限值，它们必然在解析．点故可设勒让德方程具有是方程的常点．根据常点邻域上解的定理，解具有泰勒级数形式.（13.1.3）泰勒级数形式的解，将其代入勒氏方程可得系数间的递推关系（13.1.4）因此，由任意常数可计算出任一系数．首先在（13.1.4）中令可得偶次项的系数(13.1.5)令，则可得奇次项的系数将它们代入解的表达式中，得到勒让德方程解的

5、形式(13.1.7)(13.1.6)其中分别是偶次项和奇次项组成的级数，不是整数时，无穷级数，容易求得其收敛半径均为1时，发散于无穷是非负整数递推公式（13.1.4）是偶数时，是一个次多项式，但函数为在处发散至无穷的无穷级数是奇数时，是次多项式，而仍然是在处无界的无穷级数．是负整数时一个是多项式，另一个是无界的无穷级数所以不妨设导出这个多项式的表达式,是非负整数（因在实际问题中一般总要求有界解）．把系数递推公式（13.1.4）改写成(13.1.8)于是可由多项式的最高次项系数来表示其它各低阶项系数取多项式最高次项系数为(13.1.9)这样取主要是为了

6、使所得多项式在处取值为1，即实现归一化.可得系数的一般式为(13.1.10)因此，我们得出结论：是非负偶数时，勒让德方程有解（13.1.11）是正奇数时，勒让德方程有解(13.1.12)对上述讨论进行综合，若用表示不大于的整数部分，用大写字母写成统一形式解（13.1.13）我们已经指出，在是非负整数时，勒让德方程的基本解组中只有一个多项式，这个多项式勒让德多项式，也称为第一类勒让德函数；另一个是无穷级数，这个无穷级数称为第二类勒让德函数，记为大写的．可以得出它们的关系（13.1.14）经过计算后，可以通过对数函数及勒让德多项式表示出，所以第二类勒让德

7、函数的一般表达式为(13.1.15)特别地(13.1.16)可以证明这样定义的，其递推公式和的递推公式具有相同的形式．而且在一般情况下勒让德方程的通解为两个独立解的线性叠加（13.1.17）但是在满足自然边界（即要求定解问题在边界上有限）的形式容易看出，它在端点处是无界的，故必须取常数．从而勒让德方程的解就只有第一类勒让德函数即勒让德多项式：注：法国数学家勒让德（A.M.Legendre1725～1833）最早专门研究过在球坐标系中求解数学物理方程问题时所遇到的一类特殊函数．由于这类函数具有多项式形式，所以命名这类函数为勒让德函数.综合可得如下结论：

8、（1）当不是整数时，勒让德方程在区间上无有界的解．（2）当为整数时，勒让德方程的通解为，其中称为第一类勒让德