北邮数理方程课件 第四章 幂级数解法与本征值问题

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1、第四章二阶线性常微分方程的级数解法Sturm－Liouville本征值问题4.2基础训练4.2.1例题分析例1在的邻域内求解常微分方程解：这是一个常系数微分方程，且，显然为方程的常点，由Cauchy定理，设则把以上结果代入方程【因为都已是Taylor级数】，比较系数有由此得递推公式及于是方程的级数解为或写成其中为任意常数．例2在的邻域内，求解方程：。解易知是方程的常点，由Cauchy定理，令,则(1)(2)(3)(4)将（1）——（4）代入原方程，比较次幂的系数，得（5）由（5）得系数间的递推公式（6）由上式得，，，，与使得方程的通解为例3在的邻域内求解厄密

2、特方程(1)问取哪些值时使解的级数形式退化为多项式？这些多项式当最高次幂项为时即为厄密特多项式.解这里。易知是方程（1）的常点。令(2)则(3)(4)(5)把（3）——（5）代入方程（1）得即(6)由公式（6）得，，，，故其中(8)（9）收敛半径均是无穷大。从级数（8）（9）知：当时，退化为多项式；当时，退化为多项式。最高次幂项为时即为厄密特多项式.例4在的邻域内求解拉盖尔方程的有界解。问取哪些值时使解的级数形式退化为多项式？这些多项式当最高次幂项为时即为拉盖尔多项式.解是和的一阶极点，所以是方程的正则奇点。令(1)则有(2)(3)(4)(5)将（2）——（

3、5）代入原方程，令最低次幂的系数为零，得指标方程(6)令的系数为零得系数递推公式(7)当时，由（7）式得，，于是，原方程的解是当时该级数退化为多项式,即为拉盖尔多项式.例5在的邻域上求解方程解是的一阶极点，是的二阶极点，所以是方程的正则奇点。设，代入方程，各同次幂分别集合如下表：令最低幂项系数为零，得指标方程：解之得指标数（1）在上表中，令项系数为零，得系数递推公式：（2）当时，由式若，取整数，则有；若，则，于是得一特解当时，由同上讨论，有，，得另一特解故原方程的解为。例6将下面的方程化为斯特姆—刘维尔型方程的标准形式解方程可化为知，有其斯特姆—刘维尔型方程

4、的标准形式为：经化简的斯特姆—刘维尔型方程的标准形式为：例7求解下列本征值问题的本征值和本征函数解令，方程的通解为，因此再即可由该式确定出，由可求出；由，可得故本征值由式的根确定；本征函数为。例8设有本证值问题试证明对应不同本证值的本证函数正交。证设有本证值，它们分别对应于本征函数，于是将以上两个方程分别乘以，相减以后再积分，即得直接计算，可以得到代入题设中的边界条件，即可得此二积分均为零，因此故当时，就有即对应于不同本征值的本征函数正交。4.2.2习题1在的邻域内，求解下列方程：2在的邻域上求解方程。3在的邻域上求解Airy方程。4求方程邻域内的通解。5将

5、下列方程化为斯特姆—刘维尔型方程的标准形式6求解下列本征值问题的本征值和本征函数4.2.3解答与提示1解：易知是方程的常点，令(1)则(2)(3)(4)将（1）——（4）代入原方程，比较方程两边同次幂系数得即（5）由（5）式得，，，，；于是原方程的解为2解由已知设则把以上结果代入方程（因为和都已是Taylor级数），比较系数有由此得递推公式及于是方程的级数解为即。3解显然，故是原方程的常点。设，则（1）(2)把和式代入原方程，合并同幂次项，令各幂次的系数为零，得到系数递推公式：(3)由式可推得故原方程的解为其中和为任意常数。4解为方程的的正则奇点，指标方程和

6、指标数分别为设方程的第一个解为，代入原方程得，因此。比较x同次幂系数得取，得到方程的第一个解为。设方程的第二个解为则有代入原方程得即。比较x同次幂系数得因此得到方程的第二个解为。若取，只是去掉了与第一个线性相关的部分，有。方程的通解可以写成其中为任意常数。5解（1）因为，故其斯特姆—刘维尔型方程的标准形式为：经化简知，该方程对应的斯特姆—刘维尔型的标准形式为：（2）方程可以化成，于是，故对照其斯特姆—刘维尔型方程的标准形式：知该方程对应的斯特姆—刘维尔型的标准形式为：6解（1）令，方程的通解为，，故本征值为本征函数为令，方程的通解为于是本征值为本征函数为。