2018年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4.8解三角形应用举例学案理

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1、§4.8　解三角形应用举例考纲展示►　能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.考点1　距离的测量　　　　　　　　　　　　　　　　测量距离的基本类型及方案类型A，B两点间不可通或不可视A，B两点间可视，但有一点不可达A，B两点都不可达图形方法先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB续表类

2、型A，B两点间不可通或不可视A，B两点间可视，但有一点不可达A，B两点都不可达结论AB＝AB＝①AC＝；②BC＝；-17-③AB＝(1)[教材习题改编]海上有A，B，C三个小岛，A，B相距5海里，从A岛望C和B成45°视角，从B岛望C和A成75°视角，则B，C两岛间的距离是________海里．答案：5解析：易知∠ACB＝60°，由＝，得＝，得BC＝5.(2)[教材习题改编]已知A，B两地间的距离为10m，B，C两地间的距离为20m，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离是________．答案：10m解析：AC2＝AB2＋BC2

3、－2AB·BC·cos∠ABC＝102＋202－2×10×20×cos120°＝700，所以AC＝10(m)．[考情聚焦]　研究测量距离问题是高考中的常考内容，题型既有客观题，也有解答题，难度一般适中，属中档题．解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正余弦定理求解．主要有以下几个命题角度：角度一两点可视但有一点不可到达[典题1]　某同学骑电动车以24km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方

4、向上，则点B与电视塔的距离是________km.-17-[答案]　3[解析]　由题意知AB＝24×＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，∴∠ASB＝45°，由正弦定理知＝，∴BS＝＝3.角度二两点不可到达的距离[典题2]　[2017·辽宁沈阳一模]如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，

5、然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01km，≈1.414，≈2.449)．[解]　在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1，又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.在△ABC中，＝，即AB＝，又sin15°＝sin(60°－45°)＝sin60°cos45°－cos60°sin45°＝×－×＝，所以AB＝＝，-17-因此，BD＝≈0.33(km)．故B，D的距离约为0.33km.角度三两点不相通的距离[典题3]　如图所示，要测量一

6、水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．即AB＝.若测得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，试计算AB的长为________．[答案]　200m[解析]　在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos60°＝280000.∴AB＝200m，即A，B两点间的距离为200m.[点石成金]　求距离问题的注意事项(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的

7、三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．(3)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正余弦定理求解．考点2　测量高度问题　　测量高度的基本类型及方案类型点B与点C，D共线点B与点C，D不共线-17-图形方法先测得CD＝a，∠ACB和∠ADB，再用正弦定理求出AC或AD，最后解直角三角形求出AB先测得∠BCD，∠BDC，CD＝a，在△BCD中先用正弦定理求出BC，在△ABC中∠ACB可测，

8、∠CAB＝90°－∠BCD－∠ACB，再用正弦定理求AB结论AB＝AB＝1.实际问题中角的概念理解错误．为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的建筑物的顶部测得塔顶A的仰角为30°，测