2019年高考数学总复习 专题4.8 解三角形应用举例导学案 理

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1、第八节　解三角形应用举例最新考纲1.正余弦定理在应用题中的应用．2.能准确地建立数学模型，并能用正弦定理和余弦定理解决问题.知识梳理1.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．2.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．3.方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角，如北偏东α，南偏西α.特别地，若目标方向线与指北或指南方向线成45°角称为西南方向，东北方向等．(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向

2、；(3)南偏西等其他方向角类似．4.　坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．5.必会结论(1)仰角与俯角是相对水平视线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．(2)“方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围是.典型例题考点一测量距离问题【例1】要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距km的点C，点D，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则点A，B之间的距离为_______.【答案】.规律方法求解距

3、离问题的一般步骤(1)选取适当基线，画出示意图，将实际问题转化为三角形问题.(2)明确要求的距离所在的三角形有哪几个已知元素.(3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形.课后作业1.．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)A．北偏东15°　　　　B．北偏西15°C．北偏东10°　　　　D．北偏西10°【答案】A.【解析】　如图所示，∠ACB＝90°.又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A在点B的北偏西15°.2．在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60

4、°，则A，C两点之间的距离为千米.【答案】.【解析】如图所示，由题意知∠C＝45°，由正弦定理得＝，∴AC＝×＝.3．一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上.继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60°，另一灯塔在船的南偏东75°，则这艘船每小时航行海里.【答案】8.【解析】　如图，由题意知在△ABC中，∠ACB＝75°－60°＝15°，∠B＝15°，∴AC＝AB＝8.在Rt△AOC中，OC＝AC·sin30°＝4.∴这艘船每小时航行＝8(海里).4．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/

5、h,15nmile/h，则下午2时两船之间的距离是________nmile.【答案】70　【解析】设两船之间的距离为d，则d2＝502＋302－2×50×30×cos120°＝4900，所以d＝70，即两船相距70nmile.5.如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离，即AB＝.若测得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．【答案】200m.【解析】在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，∴AB2＝4002＋600

6、2－2×400×600cos60°＝280000，∴AB＝200(m)，即A，B两点间的距离为200m.6.在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，红方侦察艇以每小时14nmile的速度沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.【答案】需要的时间为2小时，角α的正弦值为.【解析】如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根据余弦定理得(14x)2＝12

7、2＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.根据正弦定理得＝，解得sinα＝＝.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.