运算方法与运算器1

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1、第2章运算方法与运算器2.2定点加、减运算2.2.1定点补码加、减法与溢出2.2.2基本的二进制加、减法器2.2.1定点补码加、减法与溢出在计算机中，常将数值转换成补码后再进行加减运算。其优点是，可将减法运算转化为加法运算，这样可以简化机器内部硬件电路的结构。补码运算的特点是:符号位和数值位一起参加运算。补码加减运算公式（1）补码的加法运算其公式为：[x＋y]补＝[x]补＋[y]补（2）补码的减法运算其公式为：[x-y]补=[x+（-y）]补=[x]补+[-y]补＝[x]补-[y]补[ｘ＋ｙ]补＝[ｘ]补＋[ｙ]补(mod2)现分4种情况来证明。假设采用定点小数表示，因此证明的

2、先决条件是:︱ｘ︱﹤1;︱ｙ︱﹤1;︱ｘ＋ｙ︱﹤1。①ｘ﹥0，ｙ﹥0，则ｘ＋ｙ﹥0。相加两数都是正数，故其和也一定是正数。正数的补码和原码是一样的，可得：[ｘ]补＋[ｙ]补＝ｘ＋ｙ＝[ｘ＋ｙ]补(mod2)（1）补码加法的公式②ｘ﹥0，ｙ﹤0，则ｘ＋ｙ>0或ｘ＋ｙ<0相加的两数一个为正，一个为负，因此相加结果有正、负两种可能。根据补码定义:∵[ｘ]补＝ｘ，[ｙ]补＝2＋ｙ∴[ｘ]补＋[ｙ]补＝ｘ＋2＋ｙ＝2＋(ｘ＋ｙ)当ｘ＋ｙ>0时，2＋(ｘ＋ｙ)>2，进位2必丢失，又因(ｘ＋ｙ)>0，故[ｘ]补＋[ｙ]补＝ｘ＋ｙ＝[ｘ＋ｙ]补(mod2)当ｘ＋ｙ<0时，2＋(ｘ＋ｙ)<2，又

3、因(ｘ＋ｙ)<0，故[ｘ]补＋[ｙ]补＝2＋(ｘ＋ｙ)＝[ｘ＋ｙ]补(mod2)③ｘ<0，ｙ>0，则ｘ＋ｙ>0或ｘ＋ｙ<0。这种情况和第2种情况一样，把ｘ和ｙ的位置对调即得证。④ｘ<0，ｙ<0，则ｘ＋ｙ<0。相加两数都是负数，则其和也一定是负数。∵[ｘ]补＝2＋ｘ，[ｙ]补＝2＋ｙ∴[ｘ]补＋[ｙ]补＝2＋ｘ＋2＋ｙ＝2＋(2＋ｘ＋ｙ)上式右边分为”2”和(2＋ｘ＋ｙ)两部分。由于(ｘ＋ｙ)是负数，且其绝对值又小于1，那么(2＋ｘ＋ｙ)就一定是小于2而大于1的数，进位”2”必丢失。又因(ｘ＋ｙ)<0，所以[ｘ]补＋[ｙ]补＝(2＋ｘ＋ｙ)＝2＋(ｘ＋ｙ)＝[ｘ＋ｙ]补[例]ｘ＝

4、＋0.1011，ｙ＝－0.0101，求ｘ＋y。[解:][ｘ]补＝0.1011，[ｙ]补＝1.1011[ｘ]补0.1011＋[ｙ]补1.1011[ｘ＋ｙ]补10.0110所以ｘ＋ｙ＝0.0110补码的减法运算公式为:[ｘ－ｙ]补＝[ｘ]补－[ｙ]补＝[ｘ]补＋[－ｙ]补只要证明[－ｙ]补＝－[ｙ]补，上式即得证。证明方法：利用补码加法公式，[0]补=0[y]补＋[－y]补＝[y＋(－y)]补＝[y－y]补＝[0]补＝0故[－y]补＝－[y]补对于定点小数和定点整数都适用[－y]补的含义：是将[y]补的各位（包括符号位）全部取反，末位加“1”。（2）补码的减法运算从[ｙ]补求[－ｙ

5、]补的法则是：对[ｙ]补各位(包括符号位)求反且最末位加1，即可得到[－ｙ]补。写成运算表达式，则为[－ｙ]补＝﹁[ｙ]补＋2－n其中：符号﹁表示对[ｙ]补作包括符号位在内的求反操作，2－n表示最末位的1。[例1]已知ｘ1＝－0.1110，ｘ2＝＋0.1101，求：[ｘ1]补，[－ｘ1]补，[ｘ2]补，[－ｘ2]补。[解:][ｘ1]补＝1.0010[－ｘ1]补＝﹁[ｘ1]补＋2-4＝0.1101＋0.0001＝0.1110[ｘ2]补＝0.1101[－ｘ2]补＝﹁[ｘ2]补＋2-4＝1.0010＋0.0001＝1.0011[例2]ｘ＝＋0.1101，ｙ＝＋0.0110，求ｘ－ｙ。

6、[解:][ｘ]补＝0.1101，[ｙ]补＝0.0110，[－ｙ]补＝1.1010[ｘ]补0.1101＋[－ｙ]补1.1010[ｘ－ｙ]补10.0111所以ｘ－ｙ＝＋0.0111参加运算的数都用补码表示。数据的符号与数据一样参加运算。求差时将减数求补，用求和代替求差。运算结果为补码。如果符号位为0，表明运算结果为正；如果符号位为1，则表明运算结果为负。符号位的进位为模值，应该丢掉。⑶补码加减法运算规则3.溢出判断法在机器定点小数中，数的表示范围为:

7、ｘ

8、<1。在运算过程中如出现大于1的现象，称为“溢出”。在定点机中，正常情况下溢出是不允许的。机器定点小数表示[例]ｘ＝＋0.101

9、1，ｙ＝＋0.1001，求ｘ＋ｙ。[解:][ｘ]补＝0.1011[ｙ]补＝0.1001[ｘ]补0.1011＋[ｙ]补0.1001[ｘ＋ｙ]补1.0100两个正数相加的结果成为负数，这显然是错误的。[例]ｘ＝－0.1101，ｙ＝－0.1011，求ｘ＋ｙ。[解:][ｘ]补＝1.0011[ｙ]补＝1.0101[ｘ]补1.0011＋[ｙ]补1.0101[ｘ＋ｙ]补0.1000两个负数相加的结果成为正数，这同样是错误的。发生错误的原因：是因为运算结果产生了溢出。两个正数相加，结果大于机器所能表示的最大