数值分析第5章4-5节

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1、5.4矩阵三角分解法5.4.1直接三角分解法将高斯消去法改写为紧凑形式，可以直接从矩阵的元素得到计算元素的递推公式，而不需任何中间步骤，一旦实现了矩阵的分解，那么求解的问题就等价于求解两个三角形方程组①求②求这就是直接三角分解法.11.不选主元的三角分解法设为非奇异矩阵，且有分解式（4.1）其中为单位下三角阵，为上三角阵，即的元素可以由步直接计算定出，其中第步定出的第行和的第列元素.2设已经定出的第1行到第行元素与的第1列到第列元素.由(4.1)有由(4.1)，利用等式两边元素比较及当时，有故（4.1）（4.1）3

2、又由(4.1)有用直接三角分解法解(要求的所有顺序主子式都不为零)的计算公式.①计算的第行和的第列元素②（4.2）（4.1）4③（4.3）求解的计算公式：④⑤（4.4）（4.5）5例5解用直接三角分解法解用分解公式(4.2)—(4.3)计算（4.2）（4.3）6按(4.4)求解从而得求解得（4.4）7当计算好后就不用了，故可将仍存放在的相应位置.例如最后在存放的数组中得到的元素.直接分解法大约需要次乘除法，和高斯消去法计算量基本相同.再考虑存储问题8如果已经有了的分解，则求解具有相同系数的方程组是相当方便的，每解一个

3、方程组仅需要增加次乘除法运算.矩阵的分解公式(4.2)，(4.3)又称为杜利特尔分解.2.选主元的三角分解法从直接三角分解公式可看出当时计算将中断，或者当绝对值很小时，按分解公式计算可能引起舍入误差的累积.如果非奇异，可通过交换的行实现矩阵的分解.（4.2）（4.3）9采用与列主元消去法类似的方法，将直接三角分解法修改为(部分)选主元的三角分解法.设第步分解已完成，这时有10第步分解需用到(4.2)及(4.3)式，于是有为了避免用小的数作除数，引进量取交换的行与行元素，将调到位置(将位置的新元素仍记为及)，于是有由此

4、再进行第步分解计算.（4.2）（4.3）11算法41.对于(1)计算(2)选主元(选主元的三角分解法)设，其中为非奇异矩阵.(4)计算的第行元素，的第列元素(3)交换的行与行元素12求解2.对于(1)(2)如果则转(3)13(3)(继续循环)3.4.利用算法4的结果可以计算的逆矩阵步骤：(1)计算上三角矩阵的逆阵(2)计算14上述方法求大约需要次乘法运算.(3)交换列(利用最后记录).155.4.2平方根法平方根法是利用对称正定矩阵的三角分解而得到的求解对称正定方程组的一种有效方法.设为对称矩阵，且的所有顺序主

5、子式均不为零，由定理7知，可惟一分解为为了利用的对称性，将再分解为16其中为对角阵，为单位上三角阵.（4.6）又于是由分解的惟一性,得代入(4.6)得到对称矩阵的分解式17定理10设为阶对称阵，且的所有顺序主子式均不为零，则可惟一分解为其中为对角阵，为单位下三角阵.设为对称正定矩阵，则在分解式中，的对角元素均为正数.事实上，由的对称正定性，有于是(对称阵的三角分解定理)18由定理6得到其中为下三角矩阵.19定理11如果为阶对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异下三角阵可以用直接分解方法来确定计算元素的递推公式.(对称

6、正定矩阵的三角分解或Cholesky分解)使当限定的对角元素为正时，这种分解是惟一的.因为20其中于是得到解对称正定方程组的平方根法计算公式：对于l.（4.7）由矩阵乘法及按等式两边对应元素相等，得2.21求解即求解两个三角形方程组：4.3.（4.8）由计算公式1知所以22于是这个结果说明，分解过程中元素的数量级不会增长且对角元素恒为正数.当求出的第列元素时，的第行元素也算出.所以平方根法约需次乘除法，大约为一般直接分解法计算量的一半.于是不选主元素的平方根法是一个数值稳定的方法.23由于为对称阵，因此在计

7、算机实现时只需存储的下三角部分.下三角部分共需存储个元素，可按行主序用一维数组存放，即矩阵元素在一维数组中表示为的元素存放在的相应位置.用平方根法解对称正定方程组时，需要用到开方运算.为了避免开方，用定理10的分解式24即由矩阵乘法，并注意得25于是得到计算的元素及的对角元素公式：l.（4.9）对于2.为避免重复计算，引进由(4.9)得到按行计算元素的公式：26对于1.2.计算出的第行元素后，存放在的第行相应位置，然后再计算的第行元素，存放在的第行.的对角元素存放在的相应位置.3.（4.10）27对称

8、正定矩阵按分解和按分解计算量差不多，但分解不需要开方计算.例如285.4.（4.11）计算公式(4.10)，(4.11)称为改进的平方根法.求解计算公式（4.10）295.4.3追赶法实际问题中，通常要求解系数矩阵为对角占优的三对角线方程组（4.12）简记为其中，当30利用矩阵的直接三角分解法推导解三对角线方程组（4.12)的计算公式.