第13章 选修4-5 第2节

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1、第十三章　选修4－5　第二节一、选择题1．若实数x，y适合不等式xy>1，x＋y≥－2，则(　　)A．x>0，y>0　　　　　B．x<0，y<0C．x>0，y<0D．x<0，y>0[答案]　A[解析]　x，y异号时，显然与xy>1矛盾，所以可排除C、D．假设x<0，y<0，则x<.∴x＋y0，y>0.2．已知x，y∈R，M＝x2＋y2＋1，N＝x＋y＋xy，则M与N的大小关系是(　　)A．M≥NB．M≤NC．M＝ND．不能确定[答案]　A[解析]　M－N＝x2＋y2＋1－(x＋y＋xy)＝[(x2＋y2－2xy)＋(x

2、2－2x＋1)＋(y2－2y＋1)]＝[(x－y)2＋(x－1)2＋(y－1)2]≥0.故M≥N.3．(2014·南昌第一次模拟)若x>1，则函数y＝x＋＋的最小值为(　　)A．16B．8C．4D．非上述情况[答案]　B[解析]　y＝x＋＋＝x＋＋≥2＝8，当且仅当x＝2＋时等号成立．二、填空题4．若<<0，则下列四个结论：①

3、a

4、>

5、b

6、；②a＋b2；④<2a－B．其中正确的是________．[答案]　②③④[解析]　取特殊值a＝－1，b＝－2，代入验证得②③④正确．5．若T1＝，T2＝，则当s，m，n∈R＋时，T1与T2的大小为________．[答案]　T1≤

7、T2[解析]　因为－＝s·＝≤0.所以T1≤T2.6．设0a2，a>0，b>0，得b>A．又c－b＝－(1＋x)＝＝>0，得c>b，知c最大．三、解答题7．已知实数x，y满足：

8、x＋y

9、<，

10、2x－y

11、<，求证：

12、y

13、<.[解析]　因为3

14、y

15、＝

16、3y

17、＝

18、2(x＋y)－(2x－y)

19、≤2

20、x＋y

21、＋

22、2x－y

23、，由题设知

24、x＋y

25、<，

26、2x－y

27、<，从而3

28、y

29、<＋＝，所以

30、y

31、<.8．(2014·新课标Ⅰ)若a>0，b>0，且＋＝(1)求a3＋b3的最小值

32、；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．[解析]　(1)由＝＋≥，得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立．故a3＋b3≥2≥4，且当a＝b＝时等号成立．所以a3＋b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4.由于4>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.一、选择题1．已知a>0，且M＝a3＋(a＋1)3＋(a＋2)3，N＝a2(a＋1)＋(a＋1)2(a＋2)＋a(a＋2)2，则M与N的大小关系是(　　)A．M≥NB．M>NC．M≤ND．M

33、＋2)3是顺序和；而a2(a＋1)＋(a＋1)2(a＋2)＋a(a＋2)2是乱序和，由排序不等式易知此题中，“顺序和”大于“乱序和”．故应选B．2．若长方体从一个顶点出发的三条棱长之和为3，则其对角线的最小值为(　　)A．3B．C．D．[答案]　B[解析]　不妨设长方体同一顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则a＋b＋c＝3，其对角线长l＝≥＝，当且仅当a＝b＝c＝1时，对角线长取得最小值，故选B．3．(2015·黄冈模拟)若不等式≤a≤在t∈(0,2]上恒成立，则a的取值范围是(　　)A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，2][答案]　B[解析]　由已知对任意t∈(0,2]恒

34、成立，于是只要当t∈(0,2]时，记f(t)＝t＋，g(t)＝＋2()2，可知两者都在(0,2]上的单调递减，f(t)min＝f(2)＝，g(t)min＝g(2)＝1，所以a∈[，1]，选B．二、填空题4．设x＞0，y＞0，M＝，N＝＋，则M、N的大小关系是________．[答案]　M＋＝＝M.5．若a，b∈R＋，且a≠b，M＝＋，N＝＋，则M、N的大小关系为________．[答案]　M>N[解析]　∵a≠b，∴＋>2，＋>2，∴＋＋＋>2＋2.∴＋>＋.即M>N.6．(2014·陕西高考)设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值

35、为________．[答案]　[解析]　解法1：在平面直角坐标系aob中，由条件知直线ma＋nb＝5与圆a2＋b2＝5有公共点，∴≤，∴≥，∴的最小值为.解法2：由柯西不等式：·≥ma＋nb，∴≥＝.三、解答题7．已知函数f(x)＝m－

36、x－2

37、，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m.求证：a＋2b＋3c≥9.[分析]　(1)应用绝对值不等式的解法确定m的值；(2)利用柯西不等式证明．[解析]　(1)因为