常微分方程----第一章 绪论

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1、常微分方程OrdinaryDifferentialEquation教材(TextBook)<<常微分方程>>（第三版）王高雄周之铭朱思铭王寿松编高等教育出版社参考书目(Reference)《常微分方程》东北师范大学数学系编高等教育出版社《常微分方程》（山东师范大学数学系）庄万黄启宇等编，山东科学技术出版社课程评分方法(GradingPolicies)LectureGrade(100)=DailyGrade(20)+FinalExam(80)二、如何学习常微分方程?1.课前预习,培养浓厚的学习兴趣.聪明在于学习,天才在于积累.学而优则用,学而优则创.由薄到厚,由

2、厚到薄.马克思一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步.华罗庚2.认真听课，养成正确的学习习惯.3.课后复习，锻造扎实的学习基础.常微分方程的基本情况介绍常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的重要工具，它在生命科学、几何、力学、物理、电子技术、航空航天和经济领域等都有着广泛的应用。一、常微分方程模型例1试求作一曲线y=f(x)，使在其上每一点(x,y)处的切线斜率均是该点横坐标的2倍，且过点(1,2)。例2物体冷却问题将某物体置于空气中，在t＝0时刻时，测得它的温度为u0=150oC。10分钟

3、后测得它的温度为u1=100oC，试确定该物体温度u与时间t的关系，并计算20分钟后该物体的温度。这里假定空气的温度始终保持为ua=24oC。例3R－L－C电路问题。如图所示，R－L－C电路是由电阻R、电感L、电容C和电源E串联组成的电路。其中，R、L、C常数，电源电动势是时间t的已知函数：E=e(t)。试建立当开关K合上后电流I(t)应满足的微分方程。例4单摆运动问题单摆是一根长为l的线段的上端固定而下端系一质量为m的摆锤的简单机械装置。开始时将单摆拉开一个小角度φ0，然后放开，使其在摆锤的重力作用下在垂直平面上摆动。试建立单摆的运动方程。此外，还有人口模型、传染

4、病模型、生物种群模型等二、微分方程的基本概念和发展历史方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道等，研究这些问题所建立的数学方程不仅与未知函数有关，而且与未知函

5、数的导数有关，这就是我们要研究的微分方程。解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数及其导数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式－－－即求解微分方程。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，在公元17世纪，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，

6、以及其他科学技术的发展密切相关的。同时，数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。三、微分方程的研究方法研究微分方程的一般五种方法1、利用初等函数或初等函数的积分形式来导出微分方程的通解，常微分方程的解包

7、括通解和特解。能用初等积分求通解的是非常少的，因此，人们转而研究特解的存在性问题。2、利用数学分析或非线性分析理论来研究微分方程解的存在性、延展性、解对初值的连续性和可微性问题。3、微分方程解析理论由于绝大多数微分方程不能通过求积分得到，而理论上又证明了解的存在性，因此，人们将未知函数（即解）的表示成级数形式，并引进特殊函数，如，椭圆函数、阿贝尔函数、贝塞尔函数等，并使微分方程和函数论及复变函数联系起来，产生了、微分方程解析理论。5、微分方程的定性和稳定性理论1900年，希尔波特提出的23个问题中的第16个问题之一，至今未解决。4、微分方程的数值解法四、微分方程