常微分方程第一章绪论

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1、序：什么是方程？微分方程及其应用微分方程的基本概念小结主要内容重点：理解微分方程的解等基本概念。难点：微分方程的解（解、特解、通解）、积分曲线、方向场。第一章绪论在初等数学中，曾经学习过代数方程，三角方程，指数方程和对数方程等等。在高等代数中又学习过高次代数方程，n元线性代数方程组。这些方程（组）有一个共同点，就是作为未知而要求的是一个或几个特定的值（称为方程的根或解）。但在高等数学中，常常需要研究的是另外一类性质上完全不同的方程。在这类方程中，作为未知而要去求的已经不是一个或几个特定的值，而是一个函数。这类方程称为函数方程。一、序及方程第一节微

2、分方程的定义例如数学分析中的隐函数问题，就是在一定条件下，由方程(*)来确定隐函数，上述方程（*）是众所周知的隐函数方程，它是函数方程中最简单的一种。而隐函数是所要求的未知函数。返回设f(x)是自变量为x的已知连续函数，试求函数y=y(x)满足下列方程：在数学分析中，不定积分问题，实际上是微分的逆运算问题，也可以用函数的概念叙述如下：方程（*）和方程（**）共同之处在于未知的都是函数，不同处在于方程（*）中只有未知函数本身，而方程（**）中却出现了未知函数的导数，这种情况不仅在研究数学时会遇到，而且在研究物理学、力学、化学、生物学、工程技术、甚至

3、若干社会科学时也会出现，因为在研究这些实际问题时，往往不能直接找到所研究的那些量之间的依赖关系，但是却能建立起它们和其变化率（导数）之间的规律，于是，把包含未知函数导数的方程叫做微分方程.二、微分方程的定义数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系，但是在大量的实际问题中遇到稍为复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系(即函数)往往不能直接写出来，却比较容易建立这些变量和它们的导数(或微分)间的关系式.微分方程是数学中的古老分支之一．它与动力系统紧密相关并有重要应用价值．如分支问题、混沌问题、非线性振动的

4、复杂性，以及常微分方程与其他学科的关联问题．偏微分方程是研究客观世界数量间相互制约关系的有力工具．它的研究对象来源于数学的其它分支和自然科学及工程技术中的有关问题．在本世纪中偏微分方程的理论取得了重大进展，但是关于偏微分方程初始边值问题适定性的研究还有许多问题．返回三、物体冷却过程的数学模型问题一：将某物体放置于空气中，在时刻时，测量得它的温度为，10分钟后测量得温度为.问题与要求：决定此物体的温度和时间的关系，并计算20分钟后物体的温度。基本假设：空气的温度保持为.了解有关物体温度变化的基本规律：热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导；在一定

5、的温度范围内（其中包括了上述问题的温度在内），一个物体的温度变化速度与这一物体和其所在介质温度的差值成比例，这就是牛顿（Newton）冷却定律.分析假设：设物体在时刻的温度为，则温度的变化速度以来表示。注意到热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的。因而，所以温差恒正；又因物体将随时间而逐渐冷却，故温度变化速度恒为负。因此由牛顿冷却规律得到：其中k是比例常数，方程（1.1）就是物体冷却过程的数学模型，它含有未知函数u及它的(一阶)导数，这样的方程，就成为（一阶）微分方程。改写（1.1）为：变量u和t被分离出来了,对上式两边积分得到：由此，令，有

6、：代入初始条件，并整理得到：解曲线其中是积分常数，对上式进行变形又得到：图解分析：符合实际情况，真实地反映了物理现象，即高温物体在低温环境中的温度变化过程和情况.问题二：数学摆（下图）的运动方程(下面三个方程).MQOAPmg问题三：R-L-C电路电流方程；问题四：R-L电路电流方程；其它问题：人口模型、传染病模型、两种生物种群生态模型、天气预报模型（Lorenz方程）和化学动力学模型等人口增长模型（Logistic）:天气预报模型（Lorenz方程）:分支与混沌！前面介绍一些物理背景，其实在自然科学和技术科学的其它领域中，例如化学、生物学、自动

7、控制、电子技术、分支问题、混沌问题、非线性振动的复杂性等等，都提出了大量的微分方程问题.同样在社会科学的一些领域里也存在着微分方程的问题.因此，微分方程是一门与实际联系比较密切的数学课程，应该注意它的实际背景与应用；而作为一门数学基础课程，又应该把重点放在应用数学方法研究微分方程本身的问题上.返回第二节微分方程的基本概念定义：把包含未知函数导数的方程叫做微分方程.例如方程（1.1）.1、微分方程定义的注:联系自变量、未知函数及它的导数(或微分)的关系式,数学上称为微分方程.设是自变量的已知连续函数,试求函数满足方程在数学分析中，不定积分问题，实际

8、上是微分的逆运算问题，也可以用函数的概念叙述如下：分析：上述（**）方程就是一个典型的微分方程.2、什么是常微分方程？定义：在所讨论的微