空间向量与立体几何共线向量与共面向量定

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1、第2讲空间向量与立体几何1.共线向量与共面向量定理（1）如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合，则这些向量叫共线向量或平行向量.（2）平行于同一个平面的向量叫做共面向量.（3）共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数，使a=b.（4）共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对(x,y)，使p=xa+yb.2.空间向量的坐标运算设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3),a=(a1,a2

2、,a3),a·b=a1b1+a2b2+a3b3,a∥ba=ba1=b1,a2=b2,a3=b3(∈R),a⊥ba·b=0a1b1+a2b2+a3b3=0.3.模、夹角和距离公式（1）设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则

3、a

4、=cos〈a,b〉=(2)距离公式设A（x1,y1,z1）,B(x2,y2,z2),则dAB=.(3)平面的法向量如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a⊥.如果a⊥，那么向量a叫做平面的法向量.4.直线与平面、平面与平面的平行与垂直设直线l，m的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,

5、b2,c2).平面、的法向量分别为=(a3,b3,c3),v=(a4,b4,c4)（以下相同）.(1)线面平行l∥a⊥a·=0a1a3+b1b3+c1c3=0.(2)线面垂直l⊥a∥a=a1=a3,b1=b3,c1=c3.(3)面面平行∥∥v=kva3=ka4,b3=kb4,c3=kc4.(4)面面垂直⊥⊥v·v=0a3a4+b3b4+c3c4=0.5.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线l,m的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).平面、的法向量分别为=(a3,b3,c3),v=(a4,b4,c4)（以下相同）.

6、(1)线线夹角设l，m的夹角为(0≤<)，则cos(2)线面夹角设直线l与平面的夹角为（0≤≤）,则sin==

7、cos〈a，〉

8、.(3)面面夹角设平面、的夹角为（0≤<）,则

9、cos

10、==

11、cos〈,v〉

12、.一、利用向量证明线、面的平行与垂直例1如图所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点.求证：（1）DE∥平面ABC；（2）B1F⊥平面AEF.思维启迪可利用线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理；也可用向量法建立空间直角坐标系，用向量的坐标运算来解决.证明如图建立空间直角坐标

13、系A—xyz，令AB=AA1=4，则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），B1（4，0，4）.(1)取AB中点为N，则N（2，0，0），C（0，4，0），D（2，0，2），∴DE=（-2，4，0），NC=(-2，4，0），∴DE=NC，∴DE∥NC，NC平面ABC，DE平面ABC.故DE∥平面ABC.（2）=（-2，2，-4），=（2，-2，-2），=（2，2，0）.·=（-2）×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0,则⊥,∴B1F⊥EF,∵·=（-2）×2+2×2+（-4）×0=0.∴⊥，即B1F⊥AF，又∵AF∩FE=F，∴B1F⊥平

14、面AEF.探究提高（1）证明线面平行须证明线线平行，只需证明这条直线与平面内的直线的方向向量平行.（2）证明线面垂直的方法：可用直线的方向向量与平面的法向量共线证明；也可用直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直证明.（3）证明面面垂直通常转化为证线面垂直，也可用两平面的法向量垂直来证明.变式训练1（2009·长沙试题调研）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在线段BB1上，且EB1=1，D、F、G分别为CC1、C1B1、C1A1的中点.求证：（1）B1D⊥平面ABD；（2）平面EGF∥平面ABD.证明（1）如图所示，以B为坐标原

15、点，BA、BC、BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），D（0，2，2），B1（0，0，4），设BA=a，则A（a，0，0），所以=（a,0,0）,=(0,2,2),=(0,2,-2),·=0,·=0+4-4=0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD，因此B1D⊥平面ABD.（2）E（0，0，3），G（，1，4），F（0，1，4），则=（，1，1），=（0，1，1），·=0+2-2=0，·=0+2-2=0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF，因此B1D⊥平面