无穷级数的概念和质

《无穷级数的概念和质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第一节无穷级数的概念和性质一、无穷级数的概念二、级数的基本性质一、无穷级数的概念定义1对于数列u1,u2,···,un,···，用“+”号将其连接起来，得u1+u2+···+un+···,简记为.称其为无穷级数，简称级数，称其第n项un为通项或一般项.无穷多项相加意味着什么？怎样进行这种“相加”运算？“相加”的结果是什么？定义2称为级数的前n项和(n=1,2,···).简称部分和.由此可由无穷级数，得到一个部分和数列若存在，则称级数收敛，并称此极限值S为级数的和，记为.若不存在，则称级数发散.定义3若收敛，则称为级数的余项.定义4若中每项皆为

2、常数，则称为常数项级数.若且为常数，则称为正项级数.若对于某些n，un可以取正值，对于另一些n，un可以取负值，则称为任意项级数.若中至少有一项为(非常数)函数，则称为函数项级数.特别如果，则称为幂级数.例1试判定级数的收敛性.解所给级数的前n项和因此所给级数发散.例2判定级数的收敛性.解此级数为几何级数(或称等比级数).若r=1，则所给几何级数转化为例1，可知其发散.若，所给级数前n项和当

3、r

4、<1时，，因而，即级数收敛，且其和为.当

5、r

6、>1时，，因而，即级数发散.当r=–1时，其前n项和可知不存在.因此发散.综合上述，可知例3判定级数的

7、收敛性.解所给级数的前n项和可知故所给级数收敛，且和为1.二、级数的基本性质性质1(ⅰ)若级数收敛，其和为S，又设k为常数，则也收敛，且和为kS.(ⅱ)若发散，且k≠0，则必定发散.证(ⅰ)设，由于收敛，因此应有.由极限的性质可知即收敛，且其和为kS.故发散.(ⅱ)用反证法.若设收敛，则由(ⅰ)知亦收敛，矛盾.例4判定级数的收敛性.解由例2与性质1可知性质2若收敛，其和为S；收敛，其和为，则必收敛，其和为.例5判定的收敛性.解注意到与皆为几何级数，其公比分别为与，由例4可知与皆收敛，且由性质2可知收敛，且其和为.性质3在中去掉或添加有限项，所

8、得新级数与原来级数的收敛性相同.证在中去掉或添加有限项所成新级数记为，当项数给定之后，两者的部分和之差是一个常数，因此这两个部分和同收敛或同发散.所以两个级数的收敛性相同.性质3表明，级数的收敛性，与其前面有限项无关，而是取决于n充分大以后的的状况.例6判定的收敛性.解级数为等比级数，公比，由性质3可知性质4收敛级数添括号后所得新级数仍收敛，且其和不变.证若收敛.任意添括号得到一个新级数，如第二个级数的前n项之和等于第一个级数的前m项之和.由于，所以.因此即加括号之后所得新级数收敛，且和不变.注意收敛级数去括号所得到的新级数不一定为收敛级数.

9、例如(1–1)+(1–1)+···+(1–1)+···收敛于0，但是去括号后可得新级数为发散级数.(1)若收敛，发散，则必定发散.(2)若发散，也发散，则不一定发散.(3)若发散，则与不一定都发散.(4)若添号之后的级数发散，则原级数必定发散.(5)若发散，则添括号的新级数不一定发散.以下命题请给出证明或反例.性质5(级数收敛的必要条件)若收敛，则必有证这只需注意.由于收敛，因此.有必要指出，这个性质的逆命题不正确，即级数的通项的极限为零，并不一定能保证收敛.由极限的运算可知例7判定级数的收敛.解添括号得到新级数：取其前n项(每个括号内算一项

10、)，记其和为，则可见，即添号以后的级散发散.因此原级数亦发散.因为如果原级数收敛，由性质4知，添号以后级数亦必收敛，从而矛盾.级数称为调和级数.调和级数的一般项，它满足但不收敛.利用级数收敛的必要条件及反证法可以得知：若或不存在，则必定发散.这个性质可以作为判定级数发散的充分准则.例8判定级数的收敛性.解所给级数的通项，可知为发散级数.例9选择题设级数为收敛级数，则下列级数收敛的有()分析由级数的基本性质1及题设条件可知A收敛.由级数的基本性质3可知C，D也收敛.综合之，本例应选A，C，D.由于收敛，由性质4(级数收敛的必要条件)可知，因此.

11、由级数发散的充分条件可知发散.即B不收敛.