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1、分类号029编号2013010105题目学院专业姓名班级n次单位根的性质及其应用数学与统计学院:学与应用数学09数应(1)班2910101052013-5-18研宄类型指导教师提交日期应用研究原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研宄所取得的成果。学位论文中凡是引用他人己经发表或未经发表的成果、数据、观点等均己明确注明出处。除文中己经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担论文作者签名：年月日论文指导教师签名.•翻1Abstract1In次单
2、位根的定义22n次单位根的性质23n次单位根的应用43.1n次单位根在中学数学竞赛中的应用43.2巧用n次单位根分解Y-153.3n次单位根在几何中的应用83.4n次单位根在多项式整除中的应用93.5n次单位根在三角函数中的应用94总结10辦嫌11翻12n次单位根的性质及其应用崔文强（天水师范学院数学与统计学院甘肃天水741001）摘要：n次单位根是复变函数论中的重要内容，本文主要论述了n次单位根的性质，□次单位根性质证明.通过例题分析讲解n次单位根在因式分解、尺规作图、三角函数、多项式整除中的应用，说明n次单位根可拓宽解题思
3、路，是一种方便快捷的解题方法，为初中的数学教学提供指导.关键词:单位根；因式分解；性质；几何画图分类号:029ThePropertyandApplicationofnthUnitRootCUIWen-qiang(SchoolofMathematicsandStatistics，TianshuiNormalUniversity,TianshuiGansu,741001,China)Abstract:Thenthunitrootistheimportantcontentofcomplexvariablefunction.Thepa
4、permainlydiscussestheporpertyofnthunitrootbyanalysingandexplainingexamples.Thenthunitrootiswidelyappliedtofactorization,geometricalconstruction,triqonmeticfunction,andploymerizationdivideexactly，whichtellsthatnthunitrootcanbroadenthesolutionsofsolvemathquestions.Thu
5、s，thenthunitrootisaconvenientandrapidwayofsolvingthequestionsandprovidessomereferentialinstructionsformathteachinginJuniorMiddleschool.Keywords:unitroot;factorization;property;geometrical1次单位根的定义定义一在复数域上W的n个值么=cos^+fsin^;k=0，l，2,…，n_l就是多项nn式Z-1的n个根,称它们为n次单位根..2ATI定义
6、二在复数域上VI的n个值么‘丁，k=0,1,2,…，n-1就是多项式，-1的n个根，称它们为n次单位根.2n次单位根的性质(1)1*1证明由定义一得，n-1
7、^.
8、=J(cos——)2+(sin(2)令fsg^coS'^+Zsin^,贝ij么-£,k-cos+zsin,k=l,2:nnnn证明由欧拉公式=cosx+/siny，知.2^..Inl——.IK——(eny=en.2人'/ri=en2k7T..2k7T=cos+isin2k/r..2k7r.to-cosHsin，k二1，2,…，n-1⑶d证明由定义二知d"广=(e")
9、=^(4)对于每个单位根么:1+么+f+•••+^k,,-I=0证明因为％”一1二(x-l)(l+;t+x2+…+x”—l)，令％=么，则原式可变为,c-1=(么-1)(1+么+么2+…O0当么*0时，G-M，所以(4)对于每个单位根A:l+f+^2〃f+-f"l)w=，7(当n整除m时)1+C+f+…么("-d'^O(当n不整除m时)证明由于么为n次单位根则f=1当n整除m时，令m=nq，则厶'”=f=1同理d(n’=i故1+C+C+…么⑽m=1+1+…+1=n当n不整除m时，f矣1，由么=€知.•-l)/n(5)两个n次单
10、位根的乘积与商仍是n次单位根证明令么、$是n此单位根，则(«)"=d=1=1命题得证.⑺证明由定义二，得.2又n.2/n,2mt,2/n.211i—en(々+/)(8)H(0
