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《单位根的性质的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、单位根的性质的应用 把1的每一个n(n∈N)次方根叫做n次单位根，简称单位根．1的n个单位根表示数学问题时，可以大大地简化解证题过程． 下面仅把下文中用到的单位根的性质列举如下：性质1,进而可推广为若且z≠1，则z的任意连续n个整数次幂的和为0，本结论可表示为：性质2 下面简要说明单位根性质的应用． 一、在复数计算中的应用 2．计算： (答案：－1000(1＋i)) 二、在复数证明中的应用 例2求证：二项方程的n个根的和为零． (注：本题如应用韦达定理证，也较为简单) 三、在求三角函数式的
2、值方面的应用 练习题： 四、在恒等式证明中的应用 证明：∵ε是1的七次方根，则． ∴原式得证． 练习题： x^n=1的根εk=cos(2kπ/n)+i*sin(2kπ/n)，k=0,1,...,n-1,称为n次单位根性质一：n次单位根的模为1，即
3、εk
4、=1性质二：两个n次单位根εj与εk的乘积还是一个n次单位根，且εjεk=εj+k 推论1：εj-1=ε-j 推论2：εkm=εmk推论3：若k除以n的余数为r，则εk=εr
5、注：它说明εk等价于r=0推论4：任何一个单位根都可以写成ε1的幂，即εk=ε1k说明：除了ε1，还有没有另一个单位根εk使任何一个单位根都是εk的幂，回答是肯定的，并称这样的根为n次本原根，n次原根。从而所有n次单位根还可以写作ε1,ε12,…,ε1n(ε0=1)推论5：一个n次单位根的共轭也是一个n次单位根，即εk‘=εn-k(‘表示共轭)因为εk‘εk=
6、εk
7、2，εk‘=1/εk=ε-k=εn-k(由推论3)注：由上证明看到1/εk=εk‘，说明所有虚的n次单位根都成对共轭推论6：对任意整数k,h，有εkh=εhk性
8、质三：A=1+ε1m+ε2m+…+εn-1m当n
9、m时，A=n，否则A=0证明：由性质二推论4有A=1+ε1m+(ε12)m+…+(ε1n-1)m=1+ε1m+(ε1m)2+…+(ε1m)n-1=[1-(ε1m)n]/(1-ε1m)=[1-(ε1n)m]/(1-ε1m)=(1-1)/(1-ε1m)=0推论1：∑(i从0到n-1)εi=0推论2：设εk≠1，则∑(i从0到n-1)εki=0证明：由εk≠1，故n不整除k，由性质二推论4和性质三，∑(i从0到n-1)εki=∑(i从0到n-1)εik=0性质四：全部单位根将复平面
10、上单位圆n等分。练习：求1+Cn3+Cn6+Cn9+…+Cn3h-3+Cn3h其中3h是不大于n的最大的3的倍数。（[2n+2cos(nπ/3)]/3）法则一：设f(x)和p(x)是两个已知的多项式，并设存在第三个多项式q(x)使f(x)=p(x)q(x)那么(1)若f(x)和p(x)的系数都是复数，则在复数范围内f(x)被p(x)整除(2)若f(x)和p(x)的系数都是实数，则在实数范围内f(x)被p(x)整除(3)若f(x)和p(x)的系数都是有理数，则在有理数范围内f(x)被p(x)整除(4)若f(x)和p(x)的系数
11、都是整数，且p(x)的首项系数是1，则在整数范围内f(x)被p(x)整除余数定理：多项式f(x)被x-a除余数为f(a)法则二：x-a
12、f(x)等价于f(a)=0法则三：f(a)=f(b)=0,a≠b,则x2-(a+b)x+ab
13、f(x)推论1：若实系数多项式f(x)满足等式f(α+iβ)=0,α,β∈R且β≠0，则X2-2αx+(α2+β2)
14、f(x)推论2：若整系数多项式f(x)满足f(ω)=0,ω=-1/2+i√3/2,则X2+x+1
15、f(x)法则四：若多项式f(x)有f(a1)=f(a1)=f(a2)=…=f(an)
16、=0,且ai≠aj,i≠j,则(x-a1)(x-a2)…(x-an)
17、f(x)推论：εk为n次单位根，若整系数多项式f(x)满足一组等式f(εk)=0,其中k取1,2,…,n/2,n为偶数或取1,2,…,(n-1)/2,n为奇数，则xn-1+xn-2+…+x+1
18、f(x)练习1：f(x)=x3m+1+x3n+2+1,m,n是整数，证x2+x+1
19、f(x)2：n是自然数，且f(x)=xn+2+(x+1)2n+1,则对任意整数k，k2+k+1
20、f(k)3：求x1001-1被x4+x3+2x2+x+1除得的余式？（-x3+x2）4
21、：设Q(x),P(x)和R(x),S(x)都是多项式，满足P(x5)+xQ(x5)+x2R(x5)=(x4+x3+2x2+x+1)S(x)证明：x-1
22、P(x)(1976年美国第五届中学生数学竞赛试题)4：设Q(x),P(x)和R(x),S(x),T(x)都是多项式，满足P(x5)+xQ(
