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1、阅卷人题号得分—'一、填空题(每题4分,共4x5=20分):1.当波函数y(r,Z)是由本征态的叠加而成的,如下式E是能量本征值(zi=l,2,3,…)的本征态。则测量能量的结果得到某个能量本征值的概率为’且[
2、C,,
3、2=——。n2.非束缚态与束缚态能级的区别在于:非束缚态能级是谱;而束缚态能级是谱。3.经典力学中物质运动的状态用坐标、动量、角动量、等力学量以决定论的方式描述。而量子力学以概率的特征全而地描述了微观粒子的运动状态。但波函数并不能作为子力学中的力学呈。于是,又引入了一个重要的基本概念——,用它表示量子力
4、学中的o4.体系的任何状态下,其厄米算符的平均值必为:在任何状态下平均值均为实的算符必为算符。厄米算符的本征值必为o;厄米算符的属于不同木征伉的木征函数,彼此_。5.对于Hamilton量H不含时的量子体系,如果力学量义与//对易,则无论体系处于什么状态(定态或非定态),A的及其分布均不随时间改变。所以把A称为量子体系的一个守恒量。阅卷人题号得分二二、论证与说明题:(每题1()分,共10x2=20分)6.请完整地给出动量算符久=-ifi—的论证过程。dx7.对应于氢原子中电子轨道运动,试说明/7=3吋¥原子可能具有的轨
5、道角动量及能级简并度情况。阅卷人题号得分三三、证明题(每题10分,共10x2=20分):8.定义角动量升降阶算符:L+=LX+iLy,L_=Lx-iLy证明:[£2,£±]=土方£±9.求证在的本征态下/A.=/、.=0阅卷人题号得分四四、计算题:(每题10分,共10x4=40分)1.作一微运动的粒子被束缚在06、的量子体系在转子绕一固定轴转动情况下的定态能量及波函数并讨论什么情况下能级简并。3.设氢原子处于状态叭r,3^=-R2,⑺)%⑷,尺21⑺么(氏灼,求氢原子能量、角动量平方及角动量z分量的可能值,这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值。4.一电荷为-e的质量为P的线性谐振子,受恒定弱电场s作用。电场沿x正向,用微扰法求体系的定态一级波函数修正I^n0)>己知无外电场作用时线性谐振子的本征函数和本征值分别为:ONlte-a2x2,2Hn(ox)4nlnna-E{^=h6i)(n^j)zz=0,l,2,".线性谐振子本7、征函数的递推公式:xy/n=+V¥^+j阅卷人题号得分—一、填空题(每题4分,共4x5=20分):1.概率为8、cj2,且[9、cj2=l。n2.雎束缚态能级是_连续谱:而束缚态能级是分粒谱。3._篡並,用它表示量子力学屮的力学铽。4.体系的任何状态下,其厄米算符的平均值必为实数:在任何状态下平均值均为实的算符必为厄米g符。厄米算符的本征值必为实。;厄米算符的属于不同本征值的本征函数,彼此正交。5.A的T•均伉及其测伉的概率分布均不随时间改变。阅卷人题号得分二二、论证与说明题:(每题10分,共10x2=20分)6.请完整地10、给出动S算符氏=-汸1的论证过程。dx解答:动量平均值应从动量P的概率分布里去求Px==£PxI<^(P,)I2dpx=(P^PdP^P.^dPx=J-7=Jpx(p(px)dpx=^=J^Meh,)xXpx(p(px)dxdpx‘J卜⑻蛛etl,)xX(p{px)dpx^(xX-ihf)屮(x)也=JTx)p^(x)dx所以久dx7.对应于氢原子屮电子轨道运动,试说明n=3时氢原子可能具有的轨道角动延及能级简并度。解:当n=3,/的可能取值为:0,1,2。而轨道角动量1=^//(/+1)方,所以L的取11、值为:0,72/?,况h。能级简并度.八=J;(2/+l)=n2=9/=0阅卷人题号得分三三、证明题(每题10分,共10x2=20分):1.定义角动量升降阶算符:L+=£v+iLy,L_=Lx-iLy根据角动量对易式,/)1二求证:r£:,£±1=土a£±证明:八AAAA,[Lz,L±]=[L^Lx±iLy]A.A.AA=[Lz,LJ:H[L:,Ly]=ihLy±=±=土hL±证毕2.求证在/_的本征态下U=0xay证明:角动量分量算符满足对易关系:AAAA/’•v’2-My=办"v两边同时取平均值,设):是/2本征12、态波函数,用标乘积运算符号:jU-wn)=wJxyj=I左式=(JU7An)-(4,VA)=(ou”)-儿,y/j利用(-的厄米性左式=w(l,/X)—(UJ人j=雌”机)-雌加机)=0=右式即证明了G=o利用对易关系:Lis-iJz=ruiy可以类似的证明厂=0。阅卷人题号得分四四、计算题:(每题10分,共10x4=40分)io
6、的量子体系在转子绕一固定轴转动情况下的定态能量及波函数并讨论什么情况下能级简并。3.设氢原子处于状态叭r,3^=-R2,⑺)%⑷,尺21⑺么(氏灼,求氢原子能量、角动量平方及角动量z分量的可能值,这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值。4.一电荷为-e的质量为P的线性谐振子,受恒定弱电场s作用。电场沿x正向,用微扰法求体系的定态一级波函数修正I^n0)>己知无外电场作用时线性谐振子的本征函数和本征值分别为:ONlte-a2x2,2Hn(ox)4nlnna-E{^=h6i)(n^j)zz=0,l,2,".线性谐振子本
7、征函数的递推公式:xy/n=+V¥^+j阅卷人题号得分—一、填空题(每题4分,共4x5=20分):1.概率为
8、cj2,且[
9、cj2=l。n2.雎束缚态能级是_连续谱:而束缚态能级是分粒谱。3._篡並,用它表示量子力学屮的力学铽。4.体系的任何状态下,其厄米算符的平均值必为实数:在任何状态下平均值均为实的算符必为厄米g符。厄米算符的本征值必为实。;厄米算符的属于不同本征值的本征函数,彼此正交。5.A的T•均伉及其测伉的概率分布均不随时间改变。阅卷人题号得分二二、论证与说明题:(每题10分,共10x2=20分)6.请完整地
10、给出动S算符氏=-汸1的论证过程。dx解答:动量平均值应从动量P的概率分布里去求Px==£PxI<^(P,)I2dpx=(P^PdP^P.^dPx=J-7=Jpx(p(px)dpx=^=J^Meh,)xXpx(p(px)dxdpx‘J卜⑻蛛etl,)xX(p{px)dpx^(xX-ihf)屮(x)也=JTx)p^(x)dx所以久dx7.对应于氢原子屮电子轨道运动,试说明n=3时氢原子可能具有的轨道角动延及能级简并度。解:当n=3,/的可能取值为:0,1,2。而轨道角动量1=^//(/+1)方,所以L的取
11、值为:0,72/?,况h。能级简并度.八=J;(2/+l)=n2=9/=0阅卷人题号得分三三、证明题(每题10分,共10x2=20分):1.定义角动量升降阶算符:L+=£v+iLy,L_=Lx-iLy根据角动量对易式,/)1二求证:r£:,£±1=土a£±证明:八AAAA,[Lz,L±]=[L^Lx±iLy]A.A.AA=[Lz,LJ:H[L:,Ly]=ihLy±=±=土hL±证毕2.求证在/_的本征态下U=0xay证明:角动量分量算符满足对易关系:AAAA/’•v’2-My=办"v两边同时取平均值,设):是/2本征
12、态波函数,用标乘积运算符号:jU-wn)=wJxyj=I左式=(JU7An)-(4,VA)=(ou”)-儿,y/j利用(-的厄米性左式=w(l,/X)—(UJ人j=雌”机)-雌加机)=0=右式即证明了G=o利用对易关系:Lis-iJz=ruiy可以类似的证明厂=0。阅卷人题号得分四四、计算题:(每题10分,共10x4=40分)io
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