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时间:2018-12-05
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1、动力系统稳定性的发展研究1引言动力系统的研究,19世纪末期即己开端,早在1881年起的若干年里,(J.-)H.庞加莱开始了常微分方程定性理论的研究,讨论的课题(如稳定性、周期轨道的存在及回归性等)以及所用研究方法的着眼点,即为后来所说的动力系统这一数学分支的创始。G.D.伯兑霍夫从1912年起的若干年里,以三体W题为背景,扩展了动力系统的研究,包括他得出的遍历性定理。在他们关心的天体力学或哈密顿系统的领域中,多年后出现了以太阳系稳定性为背景的柯尔莫哥洛夫-阿诺尔德-莫泽扭转定理。从1931年起的若干年时间里,以A.A.马尔可夫
2、总结伯克崔夫理论、正式提出动力系统的抽象概念为丌端,苏联学者进一步推动了动力系统理论的发展。Lyapunov稳定性的研究是常微分方程与动力系统的一个重耍课题。稳定性的研究主耍涉及两种情形:耗散系统和保守系统。对于耗散系统,其稳定性主要涉及时间轴上菜一方向(正或负),Lyapunov阑数足进行此项研究的奋效手段。然而,保守系统稳定性指对任意吋间/,由靠近解x(r)的初值条件所解出解在相空间上均在x(r)的小领域内(不论止:负),.其稳定性的研究很难的,因为李雅普诺夫笫一方法已不能适应。研究稳定性的经典工具有扪克霍夫标准形式和Mo
3、ser扭转定理,应川它们已有效解荇许多稳定性问题。近來,Ortaga发展形成了川分析理论研究时间周期Lagrangian方程的新方法,即所谓的三阶近似方法。首先,本文介绍了Lagangian方程的稳定性准则,给岀了扭转系数/?;发现了Hill方程与Emarkov-Pinney力龙解之间的关系并对Ermakov-Pinney的周期解和HHI方杜的旋转度作出佔计;W外,讨论丫特例Z+=稳定时/的范围,即考虑扭转系数夕。第二部分,i、J•论平側哈密顿系统,先阐述简肀情形的稳足刻M,而且根据难本解矩阵的Floquet乘子将简单平血哈密
4、顿系统划分为三种情形:椭圆型、双曲型和抛物型,再给出复杂条件的扭转系数公式,从而得出稳定时各系数的取值约朿。第三部分,考虑阻尼振子的Lyapunov稳定性:创立线性阻尼阵子Z++冰)%=0的稳定性准则,基于伯克霍夫标准形式的计算描述非线性阻尼阵子Z+++=0平衡点稳定的充分条件;最后利川三阶近似方法,得出非线性阻尼方程Z+/7⑴/+二0的第一扭转系数公式,作为例了,阐述超线性微分方程Z+/i(r)/+expW=r+0Z)和阻尼奇-异微分方程Z+h(t)x+a(t)x=考的稳定性结果。2Lagrangian方程考虑Lagrang
5、ian方程x〃+/(f,x)=0(2.1)此处,g=g(z,x)尺是r•周期函数,通过三阶近似方法,可将之变换为又"+a(t)x+b(t)x2+c(t)x3+o(x3)=0且满足a(t)=fx(t,⑽),叭科初仰11,c(z)=^(z^(z))/6假设V⑴足方程(2.1)的解,为研究%⑺的Lyapunov稳定性,经典的方法足讨论式(2.1)的庞加莱映射p,而此r•周期解对应于映射p的一个不动点,故研究的稳定性只耍证明不动点的稳定性即可,即研究P的伯兑霍夫标准形式N(z,z)=A[z+ij3z2z+".]:W外,根裾Mose
6、r扭转定理,若第一扭转系数々不为零,则周期解是扭转的,即V⑺满足Lyapunov稳定。其扭转系数为2.7T#=JLW冲於⑷广⑺,J⑴义和(,)-识⑴I)"紐—$J*c(t)rt)dt’•80xg[0,^]2cos(x-612)cos3(%-612)16sin(^/2)16sin(3^/2)而函数r⑺是Emarkov-Pinney方程a(t)r=-^的唯一j
7、*:2;r•周期解,同时r例1摆(2.2)x"+a(t)sinx=0,a(t)>0,a{t)gC(R/2;rZ)稳记当J=L仅当X"+—=0稳定。6注:此结果由R.Ort
8、ega和其合作者证明。例2若h(t)EZ'(/?/rZ)={/?GL](R/TZ):h=0}则对于方程x"+ex=(J+h{ty(7ER(2.3)存在正常数当o^(o,z(r)]时,对XlheiXRITZ^,方程(2.3)有唯一r-周期解满足稳定性。注:于方程Z+x2二(J+A(r),c7e/?,上面的类似结论亦可被证明。例3若/〉0,/关3,“(0€/;(/?/2疋2),R.a(t)>0,则对于奇异方程"1x+a(t)x=—,x>0(2.4)xz存在正常数L(又)〉0,当“》0,0<
9、
10、“
11、
12、1<1(/)时,对V6/(f)g
13、LR/2^-Z),方程(2.4)冇唯一r-周期解满足稳定性。注:将第一•扭转系数看作/的函数,记为A(y),显然夕(y)是/的增函数,II成立以卜结论:(i)0<3二>0<0,即上述例了满TILLyapunov稳定;(ii)/=3=>/?=0,不满足稳定性;(iii)/
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