[理学]多元函数积分法及其应用

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1、第九章多元函数微分法及其应用一、平面点集的基本知识二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性机动目录上页下页返回结束§9－1多元函数的基本概念（1）点的邻域一、平面点集的基本知识（2）区域例如，即为开集．从几何上看,所谓E是连通集,是指E是连成一片的.E中的点都可用折线连接.x+y=0xyoxyo11x2+y2=1连通的开集称为区域或开区域．例如，例如，有界闭区域；无界开区域．例如，(3)聚点若对任意给定的,点P的去心机动目录上页下页返回结束邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.聚点可以属于E,也可以不

2、属于E(因为聚点可以为E的边界点)内点一定是聚点；说明：类似地可定义三元及三元以上函数．定义域—D；值域—{zz=f(x,y),(x,y)D}自变量—x,y；因变量—z。二、二元函数定义解:与一元函数类似.就是要求使这个式子有意义的平面上的点的集合.例1.求z=ln(x+y)的定义域D,并画出D的图形.x+y>0.故定义域D={(x,y)

3、x+y>0}x+y=0xyo如图y>–xD(不包括直线x+y=0)例2求的定义域．解所求定义域为二元函数的图形（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面.例如,图形如右图.例如,左

4、图球面.单值分支:§9－1多元函数的基本概念三、二元函数的极限一、二元函数的极限说明：（2）定义中的方式是任意的；（1）二元函数的极限也叫二重极限若当点趋于不同值或有的极限不存在，解:设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例.讨论函数函数机动目录上页下页返回结束练习证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．确定极限不存在的方法：（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．例求极限解其中二、多元

5、函数的连续性定义3若f(P)在D上每一点都连续,则称f(P)在D上连续,记为f(P)C(D).注1.二元函数f(X)在X0连续必须满足三个条件.在X0有定义,在X0的极限存在,两者相等,2.多元连续函数的和,差,积,商(分母不为0)以及多元连续函数的复合仍是多元连续函数.定义可推广到三元以上函数中去.二元连续函数的几何意义:定义在区域D上的二元连续函数z=f(X)=f(x,y)表示了在D上的一片没有"空洞",没有"裂缝"的连续曲面.这里条件"D是一区域"是必要的.若D不是区域,z=f(X)可能不是通常意义下的连续曲面.

6、例7讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．例如:分别在半平面x0；x2+y2>2；(x,y)(0,0)内连续。例设解因此例8解函数不连续的点称为间断点。间断点：闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界闭

7、区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）四、小结多元函数的定义思考题思考题解答不能.例取但是不存在.原因为若取例6讨论函数在(0,0)处的连续性．解取故函数在(0,0)处连续.当时练习题练习题答案