5非稳定态导热问题的数值解

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1、5非稳定态导热问题的数值解非稳定态导热问题在实际工程屮广泛存在，伴随问题温度变化的过程随处可见。一般情况下非稳定态导热方程可以写成如下的形式：drdxdT、ddx>+—M2dTdy?Tdz(5-1)5.1—维非稳定态导热的差分方程及程序设计(5-2)对于一维情况，非稳定态导热方程可以写为:5.1.1显式差分格式对吋间以r时刻为基准时刻，对空间以P节点为基准节点。对空间的差分完全采用第4章的方法，只需对于各点的温度选取r的值；对时间巾于是一阶导数，可以采取向前或者昀后差分。对时间取向前差分，就可以得到S式差分格式。ArTTP-K

2、(耐V两边同时乘以控制体的体积(A4可得:2(te_7P)+(J:)⑽-7}^)+(Su+SPT^)(Av).令:A代入可得：ar^-a}rp^a,{rE-K)+aw(T；-7；)+(+V;)(A4aTp+^T=_^p-dE~aw+^f>(]Tp+aETE+awTv+(〜)•令：cip=ci(p~ciE~dw+则：=apT；+aETTE+awT；+b(5-3)为了方便，用上标1表示r+Ar时刻的温度，上标0表示r时刻的温度，则上式可以变成:ci[PTp=apTp+cieT^+ciwT}y+b(5-3’)上式即为一维非

3、稳定态导热问题的显式差分方程。由于在计算r+Ar时刻的温度时，r时刻的温度已经已知，因此显式格式不需要迭代U•算，直接就可以il•算出r+Ar时刻的温度，因此该方法也称为单步法(图5-la)。显式格式简单且容易理解，使用方便，但是存在致命的缺陷，即稳定性问题。如果％<0就会出现7；T使得r；+Ar丄的现象，违背了物理学的本质。因此必须要求％》0,即~20的稳定性条件。在实际计算过程中要求每个节点都要满足稳定性条件。在等步长、无内热源、常物性条件下，方程可以简化力：(1-2Fo)T^+Fo(T^T^)aAtw稳定性判断条件力：F

4、o

5、p7}f'Ar则：apTp=aET^+awT^+b(5-4)为了方便，用上标l表示r时刻的温度，上标0表示r_Ar吋刻的温度，则上式可以变成：aPTp=aFTxE-^rawT^v+b(5-4，)上式即为一维非稳定态导热问题的隐式差分格式。可以看出，隐式差分格式是完全稳定的，不存在稳定性的问题，时间步长的选取可以任意选取,在实际应有中方便了很多。但是由于方程中r时刻的温度值都是未知数，耑要联立求解，因此也称为多步法(图5-2b)。但是也可以看出，对于隐式差分格式的方程与稳定态导热问题的差分方程完全类似，因此完全可以利用求解稳态导

6、热的方法计算求解。5.1.3追赶法求解方法介绍对于三对角矩阵，可以采用追赶法(TDMA)进行求解，这种方法计算量小，收敛速度快。b'ci000"_T，-va2b2c.200t20bici0T二00aNf-^Nl-CNI-l^V/-l^A7-l_000aNIbN!_b'T'+c{T2=Tl=々2令PlT，Ql，其中7a2T{4-b2T2+c27^=d2,7J=P{T2+Ql代入可得：a2(P{T2+Q{)+b2T2+c2T3=d2整理可得:c2丁

7、d2-a2Qib}--a2P}3b}--a2P}P27；+22,其中gC

8、2b'-}-a2P}，ab'+a2P}=di+G,，_c_d—aO,以此类推：T.=——Tm十」~丛土aiQi-ibj+aNiTNi-i+bN,TN,=dNl，K#TNI_l=Pni_'Tni+Qn1_'，代入可得:+2/V/-1)+^NI^NI=^Nl整理可得：=Qni丁_dNi-^Nl~^aNI^NI-具体求解步骤为为：①先计算卜X②再计算乃=S——，Q=di-cliQi-(i=2,NI)b^+aipi-i③然后计算=ev/Z?/W+ciNjPNJ_④最后求得7]=d+1+Q.(i=NI-l，l)5.1.4—维非稳定

9、态导热问题计算实例对于厚度为s=200mm的无限大钢板，由于K：度和宽度远大于厚度，可以作为以为问题来处理。初始温度为20°C,导热系数为，貫于环境温度为100(TC加热炉内进行加热，设对流换热系数a=2320W/(m2°C)o确定平板内温度随时间的变化。初始条件：r=0,r