参考2多维导热问题的数值解原理

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1、8T2(2竺)+@仇dxdxdydT¥(2.1)ner+AzUSSH*t?—dxdydt=(pc)p(Tp-Tp°)zXxA)jdt取全隐格式，假设节点之间温度线性分布，界血上热流密度均匀分布。非稳态项积分:扩散项积分:/+△『necamf+A/ne川软获如J谓tswtsn1丿(2——)dxdydtSy_2Te_Tp_Tp_Av"'(&)。一H_(&)u*(&)”AxAr第二章多维导热问题2.1二维非稳态导热全隐格式的通用离散方程三种二维坐标系中的网格系统见卜-图2・1。采用控制容积积分法导出的离散方程以二维直角坐标系圆柱轴对称坐标系图2-

2、1三种坐标系直角坐标系下的为例，根据二维非稳态导热方程：其中各系数为:(2.2)(2.2)(2.3a)(2.3b)源项积分:f+△/nejJ^Sdxdydt=(Sc上述结果整理成:QpTp=cieTe+awTw+。訂“+込人+"ap=aE+aw+d”+as+ap)一SpAx/XyAyAyAvAx，atv=，an=，cir—(&),人(&)/几(步)”/人'的)，入/0(pc)pap=AxA)?(2.3c)h=ScjxJy+仍然需要记住，式（2.3a）表示的是各节点之间的热导（热阻的倒数），分子上的心、0代表的是各控制容积面上的而积；在二

3、维问题中，Ay®的乘积是控制容积的体积。a/代表的是控制容积的热惯性。由此可见，利用上述系数计算式的物理含义，很容易写出三维导热问题的离散化方程及它的系数。对于圆柱轴对称坐标和极坐标，同样町以利川系数的物理含义写出各系数计算式，离散方程与式（2.2）相同。不过要注意，在圆柱轴对称坐标中，选用一个弧度角的范围，极坐标取垂直于纸面一个单位氏度（Im）。这样三种坐标系下的离散方程的系数可以表示为表2.1以便于编写统一的计算程序。二维导热问题中三种处标系中系数的通用表达式表2.1坐标系血角圆柱轴对称极坐标通用表达式东西坐标XXeX南北坐标yrrY半

4、径irrR东西尺度系数i1rSX东西节点间距&3xr80（灰）（SX）南北节点间距3ySrSr6Y东西导热而积△yrArrR@Y)ISX南北导热面积AxrAxr7?(AX)控制容积体积AxAyrArAxrOr/?(AX)(Ar)AyrPArrR(AY)(SX)2(&)'&(&)(,/血(&)"(旳"aN)Axr.ArR(AX)（叽/彳（务）“/血（心/人（叽/彳d/(〃)p/?(AX)(AF)/A/bScR(AX)(AY)+aP()Tp°aPcie++a”+as+Qp~)(Ay)上面得到的是计算域内内节点的离散化方程，对于边界节

5、点，可以采用边界控制容积热平衡方程导出节点方程。2.2边界节点方程第一•类边界条件是给定边界上的温度值，所以求解区域是内接点方程组。笫二类边界条件给出的是边界上的热流密度，通常表示为cib=/(x,y,z)这样的表达在求解时还不能直接引入到节点上，需要根据能虽守恒方程变换为(2.4)第三类边界条件为对流换热条件，已知参数为边界而上的对流换热系数和流体温度，表示为%=h(TB-Tf)同样需要经过变换后才能进行计算，一•般变换成=h(JB~Tf)(2.5)容易看出，第二类和笫三类边界条件根据上述表达可以用统一的方式(边界上的热流密度)离散，参见

6、图2・2。对于P节点，若采用显格式并考虑有内热源：+^£(?£0—Tp)+aN(7f°—Tp)+as(Ts°—Tp)+(Sc+Sp7^>)AxAy=a(Tp-T,)整理后：apTp=aETE(}+aNTNQ+asTs()+b(2.6)其中:AyAy9a讨=(&"人(勿)“/血2Clo=如/入Sc)pArQp=徃+务++ap一SP^xAy,b=S°ArAy+-qBy若采用隐格式离散方程为：QpTp=aE^E+^nTn++b(2.7)(2.8)方程中的系数与上相同。这样，对于第二类边界问题，边界面上的温度被排除在外，待计算完毕后通过插值方式

7、获得。对于笫三类边界条件，容易看出，从流体到P节点的传热热阻有两部分组成，半个控制容积的导热热肌和边界面上的対流换热热阻，即边界上的热流为：1//?+(&)»/心同样可以将边界面上的温度排除在外，最后才插值计算获得。上述处理结果，使得内节点和靠近边界的节点的代数方程取得了相同的形式，只不过靠近边界的节点方程相应冇一个系数为Oo2.3代数方程的求解方法求解线性方程组的两类方法是直接求解和迭代求解，直接求解是通过一次计算来获得代数方程的精确解，但计算工作量特别人；迭代计算是将计算分成许多伦次，每次计算量减少,只要迭代方式组织合理，可以获得比直接

8、解法更好的经济性，在计算流体力学和传热学中经常釆用这种方式，尤其在节点数很大时，即使收敛慢的迭代方法也可能比消元法更加有效。在迭代计算中有两个问题，一是迭代的收敛性问题；其次是如