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1、2006年青海师范大学学报(自然科学版)2006第4期JournalofQinghaiNormalUniversity(NaturalScience)No14一维非稳态导热问题的数值计算杨能彪(青海师范大学物理系,青海西宁810008)摘要:非稳态导热问题由于有时间变量,其数值计算出现了一些新的特点1在非稳态导热微分方程中,与时间因素相关的非稳态项是温度对时间的一阶导数,这给差分离散带来了新的困难1由于这个特点,可以采用不同的方法构造差分方程,从而得到两种不同的差分格式,即显式和隐式1本文从一个具体问题出发来研究非稳态导热问题的数值计算1关
2、键词:数值计算;差分离散;差分格式;差分方程中图分类号:O64114文献标识码:A文章编号:1001-7542(2006)04-0024-031问题的提出一块无限大平板(如图1所示),其一半厚度为L,初始温度T0,突然将其插入温度T的介质中1平板的导热系数为λ,密度为p,比热为c,平板与介质的对流换热系数为h,求平板内各点的温度分布12数学描述图1无限大平板非稳导热熔体中的CV曲线由于平板换热关于中心线是对称的,仅对平板一半区域进行计算即可1坐标x的原点选在平板中心线上,因而一半区域的非稳态导热的数学描述为:29T29T=a2(1)9τ9x
3、τ=0,T=T0(2)9Tx=0,=0(3)9x9Tx=L,-λ=h(T-T∞)(4)9x利用分离变量法可得该数学模型的解析解为:∞2sinμnx-μ2FT=T∞+(T0-T∞)6cosμnen0(5)n=1μn+sinμncosμnLaτhhL其中F0=2,a=μn为方程ctgμ=μPBi的根,Bi=1Lcρλ3数值离散311计算区域的离散一维非稳态导热指的是空间坐标是一维的1若考虑时间坐标,则所谓的一维非稳态导热实际上是二维问题(见图2),即:有时间坐标τ和空间坐标x两个变量1但要注意,时间坐标是单向的,就是说,收稿日期:2006-10
4、-10作者简介:杨能彪(1968-),男,青海师范大学物理系讲师,现主要从事电磁场理论与自动控制方面的教学研究工作1第4期杨能彪:一维非稳态导热问题的数值计算25前一时刻的状态会对后一时刻的状态有影响,但后一时刻的状态却影响不到前一时刻,图2示出了以x和τ为坐标的计算区域的离散,时间从τ=0开始,经过一个个时层增加到K时层和K+1时层1312微分方程的离散对于i节点,在K和K+1时刻可将微分方程(1)写成下面式子:K2K9T29T=a2(6)9τi9xiK+12K+19T29T=a2(7)9τi9xi将式(6)～(7)的左端温度对时间的偏导
5、数进行差分离散为:KK+1K9TTi-Ti=(8)图2x-τ平面区域的离散9τiΔτK+1K+1K9TTi-Ti=(9)9τiΔτ观察式(8)和(9),这两个式子的右端差分式完全相同,但在两个式子中却有不同含义1对式(8),右K9T端项相对i点在K时刻的导数是向前差分1而在式(9)中,右端项是i点在K+1时刻的导数9τiK+19T的向后差分1将式(8)和(9)分别代入式(6)和(7),并将式(6)和(7)右端关于x的二阶导数用9τi相应的差分代替,则可得到下列显式和隐式两种不同的差分格式:K+1KKK显式:Ti=fTi+1+(1-2f)Ti
6、+fTi-1(K=0,1,2,⋯⋯i=2,3,⋯,N-1)(10)隐式:K+11K+1K+1KTi=(fTi+1+fTi-1+Ti)(11)1+2faΔτ(K=0,1,2,⋯⋯i=2,3,⋯,N-1)以上两式中的f=21Δx从式(10)可见,其右端只涉及K时刻的温度,当从K=0(即τ=0时刻)开始计算时,在K=0时等号右端都是已知值,因而直接可计算出K=1时刻各点的温度1由K=1时刻的各点的温度值,又可以直接利用式(10)计算K=2时刻的各点的温度,这样一个时层一个时层的往下推,各时层的温度都能用式(10)直接计算出来,不要求解代数方程组1
7、而对于式(11)等号右端包含了与等号左端同一时刻但不同节点的温度,因而必须通过求解代数方程组才能求得这些节点的温度值1313边界条件的离散对于式(3)和(4)所给出的边界条件,可以直接用差分代替微分,也有显式和隐式之分1通常,边界节点的差分格式是显示还是隐式,取决于内部节点的差分方程组合1当内部节点采用显式时,边界节点也用显式离散;内部节点用隐式时,边界节点亦用隐式1用K+1时刻相应节点的差分,代替式(3)和(4)中的微分,可得到边界节点的差分方程:K+1K+1T1=T2K+11K+1hΔxTN=TN-1+T∞(12)hΔxλ+1λ4结论本
8、文通过离散泛定方程及其边界条件,研究了一块无限大平板非稳态导热问题的数值解法,得到了26青海师范大学学报(自然科学版)2006年一维非稳态导热问题的离散格式数值解如下:11显式解
