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《一维稳态导热问题数值模拟》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、一维稳态导热问题数值模拟问题描述：设有一导热方程，，边界条件为编写一段程序对此问题进行数值模拟。解析：1、用控制容积有限差分方法做出内部节点和边界节点的离散化方程：首先进行离散化，先确定节点，再确定控制容积。将0-1划分为N段，共N+1个节点，N个控制容积，其中。可以得到如下：对原方程建立差分方程，内部节点有：则转换为下式，：i=2，….,N上式即为内部节点的离散化方程。对于外部节点可有：综上可以得到内部节点和外部节点的离散化方程为：即为上式不满足系数为负数，则可改用如下离散方程：内部节点：边界节点边界节点组成代数方程组：写成矩阵方程组：2、写出代数方程组的迭代求解程序:用Ma
2、tlab编写如下求解程序；（1）高斯赛德尔迭代法（调用程序gauseidel文件）function[x,n]=gauseidel(A,b,x0,eps,M)%高斯迭代格式%线性方程组的系数：A%线性方程组中常数向量：b%迭代初始向量：x0%解的精度控制：eps%迭代步数控制：M%线性方程组的解：x%求出所需精度的解实际迭代步数：nifnargin==3eps=0.000001;M=10000;elseifnargin==4M=10000;endD=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);G=(D-L)U;f=(D-L)b;x=x0;
3、n=0;tol=1;whiletol>=epsx=G*x0+f;n=n+1;tol=norm(x-x0);x0=x;if(n>=M)disp('Warning：’迭代次数过多，可能不收敛.')return;endend（2）主程序（demo文件）如下：N=input('请输入N值''')Tp=input('请输入Tp值''')x1=zeros(N,1)A0=zeros(N);A0(1,1)=N+1/(2*N);A0(1,2)=-N;A0(N,N-1)=-N;A0(N,N)=2*N+1/N;fori=2:N-1A0(i,i-1)=-N;A0(i,i)=2*N+1/N;A0
4、(i,i+1)=-N;endb0=zeros(N,1);b0(1,1)=(1/N)*Tp;b0(N,1)=(2/N)*Tp+N;fori=2:N-1b0(i,1)=(2/N)*Tp;endA=A0;b=b0;x0=x1;[x,n]=gauseidel(A,b,x0)x=[x;1]t=(0:1/N:1)title('一维稳态导热问题空间温度分布图')xlabel('空间分布X')ylabel('温度分布T')holdonplot(t,x)1.35171.34851.33871.32241.29921.26911.23161.18651.13321.0712方程组的解3、结果分析，
5、以上程序计算当取=1。当N=10时，迭代次数n=3431.35191.35101.34861.34461.33891.33151.32251.31181.29931.28511.26921.25141.23171.21011.18651.16091.13321.10341.07131.0368方程组的解当N=20时，迭代次数n=12431.35191.35151.35041.34861.34611.34281.33891.33411.32871.32251.31551.30781.29931.29011.28001.26921.25751.24501.23171.21751.2
6、0251.18651.16971.15191.13321.11361.09291.07131.04861.0248方程组的解当N=30时，迭代次数n=2634以上图形是不同步长下一维稳态导热问题空间温度分布图，由上图可见随着步长的缩短，计算结果更加精确，数值精度越高，收敛速度越慢。（注：程序运行demo文件，gauseidel文件为调用程序）
