定积分的概念与质

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1、§1定积分的概念与性质一、定积分概念的引入二、定积分的定义三、定积分的几何意义四、定积分的性质五、小结上一页下一页1abxyo实例1（求曲边梯形的面积）一、定积分概念的引入上一页下一页2abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）上一页下一页3观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．上一页下一页4曲边梯形如图所示，,],[1210bxxxxxabann=<<<<<=-L个分点，内插入若干在区间上一页下一页5曲边梯形面积的近似值为曲边

2、梯形面积为上一页下一页6实例2（求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．设某物体作直线运动，已知速度)(tvv=是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，且0)(³tv，求物体在这段时间内所经过的路程.上一页下一页7（1）分割部分路程值某时刻的速度（2）求和（3）取极限路程的精确值上一页下一页8定义并作和iinixfSD=å=)(1x，二、定积分的定义上一页下一页9被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分

3、和上一页下一页10注意：上一页下一页11曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值三、定积分的几何意义上一页下一页12几何意义：上一页下一页13例1利用定义计算定积分解：上一页下一页上一页下一页14上一页下一页15对定积分的补充规定:说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．四、定积分的性质上一页下一页16证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1上一页下一页17证：性质2上一页下一页òò=babadxxfkdxxkf)()((k为常数).18补充：不论的相对位置如何,上式总成立.例若（定积分对于积分区间具有可加性）则

4、性质3上一页下一页19证性质4性质5上一页下一页20解：令于是上一页下一页21性质5的推论：证：（1）上一页下一页22证：说明：可积性是显然的.性质5的推论：（2）上一页下一页23证：（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质6上一页下一页24解：上一页下一页25解：上一页下一页26上一页下一页27证由闭区间上连续函数的介值定理知性质7（定积分中值定理）积分中值公式上一页下一页28使即积分中值公式的几何解释：上一页下一页29解：由积分中值定理知有使上一页下一页30１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为

5、整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限五、小结3．定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）上一页下一页31