[理学]2 初等方法建模

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1、第二章初等方法建模2.1比例分析模型2.2代数模型2.4简单优化模型2.1比例分析模型2.1.2划艇比赛成绩赛艇2000米成绩t(分)种类1234平均单人7.167.257.287.177.21双人6.876.926.956.776.88四人6.336.426.486.136.32八人5.875.925.825.735.84艇长l艇宽b(米)(米)l/b7.930.29327.09.760.35627.411.750.57421.018.280.61030.0空艇重w0(kg)浆手数n16.313.618.114.7对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的

2、成绩进行比较，发现成绩与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。问题准备调查赛艇的尺寸和重量l/b,w0/n基本不变2.1.2划艇比赛成绩问题分析前进阻力~浸没部分与水的摩擦力前进动力~浆手的划浆功率分析赛艇速度与浆手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定划浆功率赛艇速度赛艇速度前进动力前进阻力浆手数量艇重浸没面积对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定运用合适的物理定律建立模型2.1.2划艇比赛成绩模型假设1）艇形状相同(l/b为常数),w0与n成正比2）v是常数，阻力f与Sv2成正比符号：艇速v,浸没面积S,浸没体积A,空艇重w0,阻力f,浆手数n

3、,浆手功率p,浆手体重w,艇重W艇的静态特性艇的动态特性3）w相同，p不变，p与w成正比浆手的特征模型建立fSv2pwv(n/S)1/3S1/2A1/3AW(=w0+nw)nSn2/3vn1/9比赛成绩tn–1/9npfv2.1.2划艇比赛成绩模型检验nt17.2126.8846.3285.84最小二乘法利用4次国际大赛冠军的平均成绩对模型tn–1/9进行检验tn12487.216.886.325.84••••与模型巧合！2.1.2划艇比赛成绩2.2代数模型森林中的树木每年都要有一批被砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗

4、，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度，开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值？森林管理问题模型假设1）把树木按高度分为n类，第1类树木的高度为[0,h1]，它是树木的幼苗，第k类树木的高度为（hk-1,hk]，k=2,3,…,n-1，第n类树木的高度为（hn-1,∞）；2）幼苗的经济价值为p1=0，第k类的经济价值为pk,k=2,3,…,n；3）每年对森林中的树木砍伐一次，且只砍伐部分树木，每砍伐一棵树木就补种一棵幼苗.森林管理问题5）在一年的生长期内，

5、树木最多生长一个高度类,即第k类的树木可能进入第k+1类，也可能停留在第k类，进入第k+1类的比例为;4）补种的幼苗和未被砍伐的树木经过一年的生长期后，与砍伐前树木的高度状态相同；6）忽略两次砍伐期间树木的死亡情况.模型假设森林管理问题设为第t年森林中第k类树木的数量，每年砍伐第k类树木数为建立模型S为森林树木总数没有砍伐时，树木第t+1年的数量是(2)森林管理问题(1)有砍伐时，树木第t+1年的数量是(3)建立模型森林管理问题引入树木状态向量x(t)、收获向量y、生长矩阵G和种植矩阵R如下建立模型森林管理问题（2）式和（3）式分别写为考虑到假设4），又有（5）本问题即

6、是求满足（1）式条件下的（5）式的解。建立模型树木状态向量x(t)、收获向量y、生长矩阵G、种植矩阵R森林管理问题模型求解由于幼苗无经济价值，故不对其砍伐，即由（5）式可得(6)森林管理问题利用收获向量和价值向量，得所收获树木的价值为(8)为了获得最大的收益,要在条件(1)和(7)式限制下,求（8）式的最大值。(7)模型求解森林管理问题在实际中，往往只砍伐一种类别的所有树木，设为k类，且此时及（6）式得解得模型求解即森林管理问题代入（1）式得此时，收获树木的价值为比较各即可获得最佳砍伐方案。模型求解森林管理问题求出对其进行最优采伐的策略。例题已知森林具有6年的生长期，g

7、1=0.28,g2=0.32,g3=0.25,g4=0.23,g5=0.37,p2=50元，p3=100元，p4=150元，p5=200元，p6=250元。问题森林管理问题f2=14.0S,f3=14.7S,f4=13.9S,f5=13.2S,f6=14.0S，比较得f3最大，收益是14.7S。因此应砍伐第三年中的全部树木。求解例题按上述方法计算得此时，x2=0.475S，森林群体x=(0.525,0.475,0,0,0，0)T，即第一年树木占树木总数的52.5%，第二年树木占树木总数的47.5%。森林管理问题2.4简单的优化法2.4.1