第二章初等数学方法建模

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时间:2018-07-15

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1、初等数学方法建模第二章初等数学方法建模现实世界中有很多问题,它的机理较简单,用静态,线性或逻辑的方法即可建立模型,使用初等的数学方法,即可求解,我们称之为初等数学模型。本章主要介绍有关自然数,比例关系,状态转移,及量刚分析等建模例子,这些问题的巧妙的分析处理方法,可使读者达到举一反三,开拓思路,提高分析,解决实际问题的能力。第一节有关自然数的几个模型1.1鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理,把个苹果放入个抽屉里,则必有一个抽屉中至少有2个苹果。问题1:如果有个人,其中每个人至多认识这群人中的个人(不包括自己),则至少有两个人所认识的人数相等。分析:我们按认识人的个数,将个

2、人分为类,其中类,表示认识个人,这样形成个“鸽笼”。若,则个人分成不超过类,必有两人属于一类,也即有两个人所认识的人数相等;若,此时注意到类和类必有一个为空集,所以不空的“鸽笼”至多为个,也有结论成立问题2:在一个边长为的正三角形内最多能找到几个点,而使这些点彼此间的距离大于.分析:边长为1的正三角形,分别以为中心,为半径圆弧,将三角形分为四个部分(如图1-1),则四部分中任一部分内两点距离都小于,由鸽笼原理知道,在三角形内最多能找四个点,使彼此间距离大于,且确实可找到如及三角形中心四个点。图1—1问题3:能否在的方格表的各个空格中,分别填写这三个数中的任一个,使得每

3、行,每列及对角线的各个数的和都不相同?为什么?18初等数学方法建模分析:若从考虑填法的种类入手,情况太复杂;这里我们注意到,方格表中行,列及对角线的总数为个;而用填入表格,每行,列及对角线都是个数,个数的和最小为,最大为,共有种;利用鸽笼原理,个“鸽”放入个“鸽笼”,必有两个在一个“鸽笼”,也即必有两个和相同。所以题目中的要求,无法实现。思考题:在一个边长为的正三角形内,若要彼此间距离大于,最多能找到几个点?1.2“奇偶校验”方法所谓“奇偶校验”,即是如果两个数都是奇数或偶数,则称这两个数具有相同的奇偶性;若一个数是奇数,另一个数是偶数,则称具有相反的奇偶性。在组合问

4、题中,经常使用“奇偶校验”考虑配对问题。问题1(棋盘问题):假设你有一张普通的国际象棋盘,一组对角上的两个方格被切掉,这样棋盘上只剩下个方格(如图1—2)。若你还有块骨牌,每块骨牌的大小为方格。试说明用互不重叠的骨牌完全覆盖住这张残缺的棋盘是不可能的。分析:关键是对图1—2的棋盘进行黑白着色,使得相邻的两个方格有不同的颜色;用一块骨牌覆盖两个方格,必是盖住颜色不同的方格。我们计算一下黑白着色棋盘的黑格,白格个数,分别为和;因此不同能用块骨牌盖住这张残缺的棋盘。用奇偶校验法,我们可以把黑色方格看成奇数方格,白色方格看成偶数方格;因为奇偶个数不同,所以不能进行奇偶配对,故

5、题中要求的作法是不可能实现的。图1-3图1-2问题2(菱形十二面体上的H路径问题):沿一菱形十二面体各棱行走,要寻找一条这样的路径它通过各顶点恰好一次,该问题被称为Hamilton路径问题。分析:我们注意到菱形十二面体每个顶点的度或者为或者为,所谓顶点的度是指通过这一顶点的棱数,如图1—3;且每度顶点刚好与个度顶点相连,而每个度顶点刚好与个度顶点相连。因此一个Hamilton路径必是度与度顶点交错,故若存在Hamilton路径,则度顶点个数,与度顶点个数要么相等,要么相差。用奇偶校验法度顶点为奇数顶点,度顶点为偶数顶点,奇偶配对,最多只能余个;而事实上菱形十二面体中,

6、有度顶点个,度顶点个;可得结论,菱形十二面体中不存在Hamilton路径.思考题:1、设一所监狱有间囚室,其排列类似棋盘,看守长告诉关押在一个角落里的囚犯,只要他能够不重复地通过每间囚室到达对角的囚室(所有相邻囚室间都有门相通),他将获释,问囚犯能否获得自由?2、某班有个学生,坐成行列,每个坐位的前后左右的坐位叫做它的邻座,要让个学生都换到他的邻座上去,问是否有这种调换位置的方案?1.3自然数的因子个数与狱吏问题18初等数学方法建模令为自然数的因子个数,则有的为奇数,有的为偶数,见下表:n12345678910111213141516d(n)1223242434262

7、445我们发现这样一个规律,当且仅当为完全平方数时,为奇数;这是因为的因子是成对出现的,也即;只有为完全平方数,才会出现的情形,才为奇数。下面我们利用上述结论研究一个有趣的问题.狱吏问题:某王国对囚犯进行大赦,让一狱吏n次通过一排锁着的n间牢房,每通过一次按所定规则转动门锁,每转动一次,原来锁着的被打开,原来打开的被锁上;通过n次后,门锁开着的,牢房中的犯人放出,否则犯人不得获释。转动门锁的规则是这样的,第一次通过牢房,要转动每一把门锁,即把全部锁打开;第二次通过牢房时,从第二间开始转动,每隔一间转动一次;第k次通过牢房,从第k间开始转动,每隔k-1

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