数学建模,第二章 初等模型

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1、数学建模（MathematicalModeling)黑龙江科技学院理学院工程数学教研室第二章初等模型黑龙江科技学院数学建模理学院线性代数模型初等模型第二章极限、最值、积分问题的初等模型经济问题中的初等模型重点:各种简单的初等模型难点:简单初等模型的建立和求解生活中的问题黑龙江科技学院数学建模理学院建模举例2.1生活中的问题2.1.1椅子能在不平的地面上放稳吗?问题分析模型假设通常~三只脚着地放稳~四只脚着地四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;地面相对平坦，使椅子在

2、任意位置至少三只脚同时着地。黑龙江科技学院数学建模理学院模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置四只脚着地距离是的函数四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和~f()B,D两脚与地面距离之和~g()两个距离xBADCOD´C´B´A´椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性黑龙江科技学院数学建模理学院用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f(),g()是连续函数对任意,f(),g()至少一

3、个为0数学问题已知：f(),g()是连续函数;对任意，f()•g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型构成地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地黑龙江科技学院数学建模理学院模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),则h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的连续性知h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在0,使h(0

4、)=0,即f(0)=g(0).因为f()•g()=0,所以f(0)=g(0)=0.评注和思考建模的关键~假设条件的本质与非本质考察四脚呈长方形的椅子和f(),g()的确定黑龙江科技学院数学建模理学院2.1.2分蛋糕问题妹妹过生日，妈妈做了一块边界形状任意的蛋糕，哥哥也想吃，妹妹指着蛋糕上的一点对哥哥说，你能过这一点切一刀，使得切下的两块蛋糕面积相等，就把其中的一块送给你。哥哥利用高等数学知识解决了这个问题，你知道他用的是什么办法吗？问题归结为如下一道证明题：已知平面上一条没有交叉点的封闭曲线，P是曲线

5、所围图形上任一点，求证：一定存在一条过P的直线，将这图形的面积二等分。黑龙江科技学院数学建模理学院只证明了直线的存在性，你能找到它么？P?PS1S2l若S1≠S2不妨设S1＞S2(此时l与x轴正向的夹角记为)以点P为旋转中心，将l按逆时针方向旋转，面积S1，S2就连续依赖于角的变化，记为令：而在上连续，且由零点定理得证。黑龙江科技学院数学建模理学院2.1.3出租车收费问题某城市出租汽车收费情况如下：起价10元（4km以内），行程不足15km，大于等于4km部分，每公里车费1.6元；行程大于等于15km部分，每公里车费2

6、.4元。计程器每0.5km记一次价。例如，当行驶路程x（km）满足12≤x<12.5时，按12.5km计价；当12.5≤x<13时，按13km计价；例如，等候时间t(min)满足2.5≤t<5时，按2.5min计价收费0.8元；当5≤t<25，按5min计价理学院黑龙江科技学院数学建模请回答下列问题假设行程都是整数公里，停车时间都是2.5min的整数倍，请建立车费与行程的数学模型。若行驶12km，停车等候5min,应付多少车费？若行驶23.7km,停车等候7min，应付多少车费？解（1）设车费为y元，其中行程车费为y1

7、元，停车费为y2元，行程为xkm，x∈z+,停车时间为tmin，t∈z+,则理学院黑龙江科技学院数学建模数学模型为计算起来很简单。理学院黑龙江科技学院数学建模我学过高等数学，我可以做得更好，呵呵2.1.4蚂蚁逃跑问题一块长方形的金属板，四个顶点的坐标分别是（1，1），（5，1），（1，3），（5，3），在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热，假设板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比，在（3，2）处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉的地点？解：板上任一点（x,y）处的温度为理学院黑龙江科技学院

8、数学建模2.2极限问题中的初等模型2.3最值问题中的初等模型2.4积分问题中的初等模型黑龙江科技学院数学建模理学院细菌繁殖问题求：开始时细菌个数可能是多少？若继续以现在的速度增长下去，假定细菌无死亡，60天后细菌的个数大概是多少？某种细菌繁殖的速度在培养基充足等条件满足时，与当时已有的数量成正比，即，V=KA0(K>0为比例常数)