数学建模培训初等模型

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1、数学建模培训——初等模型曹可二○○九年四月一、数列建模数列是最基本的概念之一。1805年，英国和法国进行了一场惨烈的海战。其中，尼尔森担任英国统帅，他的对手则是大名鼎鼎的拿破仑。尼尔森的舰队有27艘战舰，而拿破仑的舰队却有33艘战舰。根据以往的战争经验，若两军相遇，一方损失兵力大约是对方兵力的10％。如果按照这一公式计算，显然人多势众的法军将获胜，而且在第11次遭遇战中全歼英军，如表所示。n1234567891011Bri27.023.720.717.915.312.910.68.56.54.52.7Fra33.030.327.925

2、.924.122.521.320.219.318.718.2模型1：谁将是胜利者但是，尼尔森将军成功的运用了逐个击破的策略，扭转劣势转败为胜，还差一点全歼法军。经此一战，英国大大巩固了它在海上的霸权。当时法军舰队分在三处，分别为A处（3艘）、B处（17艘）、C处（13艘），彼此相距很远。尼尔森将军收集了丰富的情报以后，当机立断，制定以下作战方案：先派13艘战舰进攻法军A队，胜利后尽快与留守港口的14艘战舰汇合，一起进攻法军B队，最后，乘胜追击，集中所有剩余兵力，围攻法军C队。现保守估计，每一场遭遇战，法军损失兵力大约是英军的5％，列表

3、如下计算：n1234Bri13.012.712.512.4Fra3.02.41.71.1战役A情况战役B情况（法军在战役A中逃脱的1艘战舰加入战斗）n1234…13141516Bri26.025.124.323.5…19.118.818.618.5Fra18.016.715.414.2…4.73.82.81.9战役C情况（法军剩余兵力全部参加战斗）n1234…14151617Bri19.018.317.617.0…13.213.012.812.7Fra14.013.112.111.3…3.83.12.41.8最后英军战胜了法军，而且双

4、方伤亡情况与历史事实也很相近。当年，英军在战役A和战役B中战胜法军，但法军没有增援C，而是选择了撤退，大约有13艘战舰退回法国海港。点评：数学建模以解决某现实问题为目的，从问题中抽象并归结出来的数学问题。从现象到模型，数学建模必须反映现实，既然是一种模型，它就不是现实问题的全部复制，常常会忽略一些次要因素，作一些必要的简化，但本质上必须反映现实问题的数量规律。模型2：动态系统中的平衡点模型2.1：出租车的调配问题一家出租车公司有出租车7000辆，在甲地和乙地各有一家分支机构，专门负责为旅游公司提供出租车。由于甲地和乙地距离不远，出租车

5、每天可以往返两地。根据公司统计的历史数据，每一天甲地的车辆有60%前往乙地后返回甲地，余下40%前往乙地并留在乙地分支机构；而每一天乙地的车辆有70%前往甲地后返回乙地，余下30%前往甲地并留在甲地分支机构。现在公司担心出现甲、乙两地车辆分布越来越不平衡的情况，如果出现，公司就必须考虑是否对甲乙两地车辆进行调配，这就需要支付一定的调度费用。试对上述问题提出决策分析！甲地乙地40%30%60%70%分析：设Jn为第n天在甲地的出租车数量，Yn为第n天在乙地的出租车数量，由历史统计规律可知如果存在平衡状态，即Jn=Jn＋1及Yn=Yn＋1

6、，解得这就说明，甲地分配3000辆车，乙地分配4000辆车，则此后两地车辆数目不变，即达到平衡状态。（如表1）n1234...n...甲地3000300030003000...3000...乙地4000400040004000...4000...表1进一步分析：如果甲地、乙地的车辆不是3000和4000时，甲地和乙地的车辆数量则每天都在变动，是否会出现不平衡，是否需要进行调配？n01234567甲地70004200336031083032.43009.723002.9163000.875乙地02800364038923967.6399

7、0.283997.0843999.125表2车辆数量模拟（一）n01234567甲地50003600318030543016.23004.863001.4583000.437乙地20003400382039463983.83995.143998.5423999.563表3车辆数量模拟（二）n01234567甲地20002700291029732991.92997.572999.2712999.781乙地50004300409040274008.14002.434000.7294000.219表4车辆数量模拟（三）n01234567甲地

8、02100273029192975.72992.712997.8132999.344乙地70004900427040814024.34007.294002.1874000.656表5车辆数量模拟（四）经过模拟（表2－表5