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1、第二章初等方法建模2.1比例分析模型2.2代数模型2.3简单优化模型2.4节水洗衣机2.1比例分析模型2.1.1包装成本问题2.1.2划艇比赛成绩2.1.1包装成本问题考虑像面粉、洗涤剂或果酱之类的产品，它们常常是包装后出售的。注意到包装比较大的按每克计算的价格较低。人们通常认为这是由于节省了包装和经营的成本的缘故。或许有人会问，这是主要原因吗?是否还有其他重要因素？能否构造一个简单模型来分析？问题研究产品成本如何随包装大小而变化的规律2.1.1包装成本问题模型假设1）计入批发价格的主要成本是:生产该产品
2、的成本包装该产品的成本运输该产品的成本包装材料的成本2）产品成本显然随商业竞争和经营规模不同而变化，忽略这些因素集中考虑在原料和买卖过程的费用上.设该产品成本与所生产的货物重量成正比,记为其中为产品重量模型分析与建立装包时间大致与体积（因而与重量）成比例,而对于体积在一定范围内的包装，后两部分时间相差不大。2.1.1包装成本问题3)包装成本取决于装包、封包以及装箱备运所需要的时间.于是有每件包装品的体积与包装品的表面积或体积成正比，它取决于摊平后运输(像纸板之类)还是成型后运输(像玻璃器皿之类),所以打包
3、者的成本其中是表面积，均为常数，因此每件包装所消耗材料量(因而也是每件包装的重量)与所覆盖的表面积成正比。模型假设2.1.1包装成本问题6）假设各种包装品在几何形状上是大致相似的,体积几乎与线性尺度的立方成正比,表面积几乎与线性尺度的平方成正比，模型分析与建立2.1.1包装成本问题于是每克的批发成本是模型分析与建立由此看出，当包装增大时，即每包内产重量增大时，每克的成本下降.现在将比例法中涉及的自变量化为一个自变量——重量。2.1.1包装成本问题进一步的分析可以看到，每克产品的成本下降速度因此当包装比较大
4、时，每克的节省率增加得比较慢。总节省率为这是W的减函数。这也是的减函数。2.1.1包装成本问题直观解释购买预先包装好看产品时，把小型包装的包装规格(体积)增大一倍，每克所节省的钱，倾向于比大型的包装规格增大一倍所节省的钱多。此模型可推广于零售价格，零售成本取决于批发价、销售成本和仓库成本，后两种成本具有的形式，因此上述结论也适用于零售价格。应用这里说“倾向于”是因为模型是粗糙的。然而在定性预测中往往很可靠。而验证上述解释也是很容易的只须计算的值，其中2.1.1包装成本问题赛艇2000米成绩t(分)种类12
5、34平均单人7.167.257.287.177.21双人6.876.926.956.776.88四人6.336.426.486.136.32八人5.875.925.825.735.84艇长l艇宽b(米)(米)l/b7.930.29327.09.760.35627.411.750.57421.018.280.61030.0空艇重w0(kg)浆手数n16.313.618.114.7对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现成绩与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。问题准
6、备调查赛艇的尺寸和重量l/b,w0/n基本不变2.1.2划艇比赛成绩问题分析前进阻力~浸没部分与水的摩擦力前进动力~浆手的划浆功率分析赛艇速度与浆手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定划浆功率赛艇速度赛艇速度前进动力前进阻力浆手数量艇重浸没面积对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定运用合适的物理定律建立模型2.1.2划艇比赛成绩模型假设1）艇形状相同(l/b为常数),w0与n成正比2）v是常数，阻力f与Sv2成正比符号：艇速v,浸没面积S,浸没体积A,空艇重w0,阻力f,浆手数n,浆手功率
7、p,浆手体重w,艇重W艇的静态特性艇的动态特性3）w相同，p不变，p与w成正比浆手的特征模型建立fSv2pwv(n/S)1/3S1/2A1/3AW(=w0+nw)nSn2/3vn1/9比赛成绩tn–1/9npfv2.1.2划艇比赛成绩模型检验nt17.2126.8846.3285.84最小二乘法利用4次国际大赛冠军的平均成绩对模型tn–1/9进行检验tn12487.216.886.325.84••••与模型巧合！2.1.2划艇比赛成绩2.2代数模型森林中的树木每年都要有一批被砍伐出售。为了使这片森林不被耗
8、尽且每年都有收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度，开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值？森林管理问题模型假设1）把树木按高度分为n类，第1类树木的高度为[0,h1]，它是树木的幼苗，第k类树木的高度为（hk-1,hk]，k=2,3,…,n-1，第n类树木的高度为（h
