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1、《高等数学一》课程复习大纲与练习题课程名称高等数学一教名称高等数学材出版社北京大学出版社信作荞吴纪桃，漆毅著版次2006.08第一章函數一、内容小结1.函数的概念(1)函数的定义(2)函数的表示法：公式法(解析法)、图像法和表格法2.函数的基本性质(1)有界性(2)单调性：函数的单调性一般与区间有关(3)奇偶性：偶函数的图像关于y轴对称，而奇函数的图像则是关于原点对称(4)周期性：周期函数的图像呈周期状，即在任意形如[x+n7^+(n+l)r]的区
2、'uj上，函数的图像有相同的形状。3.常用的函数类型(1)基本初等函数：常值函数：y=幕函数：y=为实常数)；指数函数：y=VO〉0，“矣1);
3、对数函数：y=logax(a>0,6z^l)；二角函数：y=sinx,j1=cos%,y=tan%,y=cotx,y=secx,v=escx;反二角函数：y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx(1)反函数(2)复合函数(3)初等函数：由基本初等函数经过宥限次的四则运算和复合运算，并能用一个解析式(公式)表示的函数(4)分段函数：如果在其定义域的不同的子区间内，其对应法则存着不同的初等函数表达式，则称为分段函数。二、常见题型1.求函数的自然定义域。2.判断函数是否相等。3.已知y=f(w),u=^(x),求复合函数卽⑻)。4.已知复合函数的表达式，求f(
4、u)或u=的表达式。5.判断函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性。6.求函数的反函数。7.从实际问题中列函数关系式。第二章极限与连续一、内容小结1.有关定义(1)数列(2)数列的极限(1)级数(2)级数的部分和(3)级数的敛散(4)函数的极限(5)无穷小量(6)无穷大量(7)无穷小量的阶(8)函数的连续性(9)左连续(10)石连续(11)函数在闭区间［。，/7］上连续(12)第一类间断点(13)第二类间断点1.数列极限的有关性质和结论(1)唯一性：若linw„=则极限值是唯一的。n(2)有界性：若limcin=a，则｛人｝有界(3)保序性：若=6f，lim=/?，ILa>b,则当n充分大时
5、O〉AQ，n—><»有an〉b。(4)极限的运算法则：设limtz,,=«，limb„=/?，贝1Jn—>oolim(“"土b")=«±/?，lim^,bz/=ab,lim—=—(/?^0)n—>OOH—>oobnbYmcan=oz（c为常数）Z?—>OOimank0是正整数)(1)极限存在的单调有界准则：单调有界数列必有极限(1)极限存在的夹逼准则1.收敛级数的性质与判别法(1)设c是非零常数，则级数£'与£%有相同的敛散性;H=1'J=loo(2)去掉或改变n=l的前有限项的值，不会改变级数的敛散性;(1)若玄〜、玄都收敛，则也收敛;H=1H=1Zl=l(2)必要条件：若收敛，则limw
6、M=O;ZI=1(3)正项级数收敛的充要条件：若w,^0(〃=l，2，...)，则收敛的z:=l充要条件是它的部分和｝有界;(4)正项级数的比较判别法：设玄人、玄v„是两个正项级数，且zt=lz:=luflN)9若玄、收敛，则玄'收敛；若玄'发散，则Et发散;«=1z?=lz?=ln=l2.函数极限的有关性质和结论(1)唯一性(2)局部有界性(3)保序性(4)极限的运算法则(5)极限存在的夾逼准则3.无穷小量的有关性质(1)有限个无穷小量的代数和是无穷小量;(1)有限个无穷小量的乘积是无穷小量；(2)有界变量乘无穷小量是无穷小量；(3)常数乘无穷小量是无穷小量；(4)无穷小量与
7、无穷大量的关系(1)等价无穷小的替换性质1.连续函数的有关性质(1)函数连续的充要条件(2)连续函数的四则运算法则(3)连续函数的复合运算法则(4)连续函数的求极限法则(5)连续函数的反函数的连续性(6)基本初等函数在其定义域内连续(7)初等函数在其定义区問内连续(8)闭区间上连续函数的性质：若函数/(x)在闭区间［以］上连续，则①有界性定理.•/(X)在上有界；②最值定理：在［〃，糾上必取得最大值、最小值；③介值定理：/CX)在［〃，/7］上必取得介于它的最小值与最大值之间的一切值；④零点定理:若，⑻•，⑻<0,则/(X)在［^］内必有零点。2.重要结果丄•(1)两个重要极限：lim(l+
8、x)A=e,=1x—>0X(2)常用的极限:[man=0，(
9、a
10、<1)，打―w-1limV«=1，(“〉0)a(}x+a,x+...+“„lim—!——:b()xm+bxxm+…+/?,n—,n=mb,oo,n>m0,n，，，当
11、r
12、13、r
14、M时发散;n=Q调和级数£丄，发散；n=lnP级数，当01时收敛。(4)常用的等价无穷小：当
