[工学]第7章 正弦稳态分析

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1、第7章正弦稳态分析正弦电路中，当电路进入稳态后，电路中任意电压或电流均随时间按与激励同频率的正弦规律变化。处于正弦稳态的电路称正弦稳态电路，分析和求解正弦稳态电路的响应称为正弦稳态分析。在微分方程中，稳态就是微分电路方程的特解。这里介绍另一种方法求特解，就是相量法求解。7.1正弦量正弦量的三要素。正弦量可以用正弦函数表示，也可以用余弦函数表示。这里采用用余弦函数来表示正弦量。在选定参考方向和计时起点后，正弦量的瞬时值表达式为：式中Fm为振幅，ω为角频率，为初相位，称为相位。初相位（简称初相）的大小不大于π。正弦量是周期性函数。正弦量完成一次循环的时间称为周期，用T表示，单位是秒。周期的倒

2、数就是频率，即1秒种时间内所完成循环的次数，单位是赫兹（Hz）。角频率是1秒时间里所转过的角度，它与频率、周期满足下面式子。也就是说，只知道振幅、初相、频率或周期或角频率，就可写出正弦量的表达式。这三个量，称为正弦量的三要素。正弦量f(t)的波形如图7-1所示。例7-1试求正弦量的振幅Fm、初相和频率f。解：先将其化为标准式即振幅Fm＝100，初相是，角频率是100π，即频率是f=50Hz。正弦量的相位差设两个正弦量：其相位差为：注意相位差要满足：若，说明u1(t)超前u2(t)。，说明u1(t)与u2(t)同相。，说明u1(t)滞后u2(t)。，说明u1(t)、u2(t)反相。，说明u

3、1(t)、u2(t)正交。例7-2已知正弦电压正弦电流试求各正弦量间的相位差。解：电压u1和u2相位差为：说明电压1超前电压2。电压u1与电流i3之间的相位差：说明电压1滞后电流，二者正交。电压u2与电流i3之间的相位差：注意到相位差的取值，实际上是电压超前电流。正弦量的有效值。周期信号的有效值是根据其本身的热效应来确定。对于正弦交流电流，将其流过某电阻R，在某段时间内产生热量与通过该电阻的直流电流I在相同的时间里产生的热量相同，我们说这个交流电的有效值就是I。下面以一个周期T产生热量进行计算。设正弦交流电为：，则其有效值为：同时交流电压的有效值与幅值之间也满足上面的关系。交流电压、电流

4、的瞬时表达式可以写成：7.2正弦量的相量表示法对一个复数A，其表达形式有以下4种。分别是直角坐标形式、三角形式、指数形式、极坐标形式。其中称为模，称为幅角。对于含时的复数，其三角形式为：可见，正弦量与复数有关，它是上面复数的实部。记为：其中，也是一个复数，它反映正弦量的模和初相位。通常在频率已知的情况下，若求出振幅、初相位，就能得到正弦量的瞬时表达式。我们将从正弦交流电中得到的复数称为相量。反映复数的平面我们称为复平面；反映相量的平面称为相平面。如图7-3、图7-4所示。复数的模为1,它与时间有关，我们称之为单位旋转相量。相量乘以旋转相量，它就可在相量图中旋转起来。如图7-5所示。相量只

5、是反映正弦交流电的振幅（或有效值）、初相位的关系，并不等于正弦量，它们之间只是一种对应关系。例7-3已知正弦电流和电压分别为：试写出它们对应的相量，并画出相量图。解：先将它们化为标准的正弦量表达式，然后才写出它们对应的相量。所以其对应的相量为：所以，其对应的相量为：相量图如图7-6所示。例7-4已知同频正弦电压相量为：频率f=50Hz。写出它们对应的瞬时值表达式。解：先将其化为极坐标形式。所以，它们对应的瞬时值表达式为：7.3正弦稳态电路的相量模型基尔霍夫定律的相量形式对于KCL，其表达式为：在正弦交流电路中，基尔霍夫定律也是成立的。上式可改写为：即有：同样对KVL，我们也可得到其相量形

6、式有表达式：例7-5如图7-7(a)所示电路节点上有：试求电流i3(t)，并作出电流相量图。解：利用相量法求解。利用相量形式下的KCL，有：其瞬时值表达式为：其相量图如图(b)所示：例7-6如图7-8所示电路中，已知：，。求电压u(t)。解：利用相量法求解。所以其瞬时电压表达式为：电路元件的伏安关系的相量形式设：则有：即：电容元件的VCR的相量形式对于图7-10所示的电容元件有：设：则：即有：注意说明：对比电阻的欧姆定律，称为容抗，单位也是欧姆。容抗的倒数称为容纳。用BC表示。电容的相量形式电路如图所示：电感元件伏安特性的相量形式电感的伏安特性为：在正弦稳态交流电路中，电感的电压与电流可

7、设为：则：即：上式可表示为：同样称为感抗，用XL表示；其感纳为电感相量形式的电路图如图所示：例7-7在图7-12所示正弦稳态电路中，已知试求电感两端的电压u(t)。解：所以：例7-8在图7-13所示正弦稳态电路中，已知L＝10mH，C＝50μF。试求电流i(t)。解：利用R、L、C元件的VCR的相量形式，可得各支路的电流相量。由KCL的相量形式可得：电流i(t)为：7.4阻抗与导纳图7-14(a)所示，N0为正弦稳态电路中的无源二端