梁板式结构分析的有限条法

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1、2梁板式结构分析的有限条法有限条法(1)板条(2)平面应力条(3)薄壳条(4)连续结构分析高级有限条样条有限条法组合有限条法小结本章参考文献7/8/202111968年，CheungY.K教授创立了结构有限条分析法，并成功应用于简支板的计算Powell和Qgden（1968）将此法应用到板桥的分析中，拉开了有限条法在桥梁结构分析中应用的大门用有限条法分析箱梁桥，连续板、梁结构、加肋板、振动问题、稳定问题等逐步发展起来，CheungY.k.教授在1976年对有限条法在桥梁工程中的应用以及研究成果分别进行了总结在后来的二十多年中，有限条法的应用范围不断拓宽，不仅应用到各种复杂结构的

2、分析中，还在非线性分析方面显示出优势，有限层法、有限棱柱法和样条有限条法也发展起来，并得到广泛应用。有限条法是一种混合法，它具有一般结构法和有限元法的优点。有限条单元结构的组合单元是沿结构纵向分布的“条”，条间纵向用接线连接，由于桥梁的纵向结构和这种“条”式单元基本一致，故采用此法分析时十分有效。7/8/20212有限条法(1)板条(a）位移函数在有限板条中，选用条带节线中点的挠度（w）及x向（桥梁的横向）的转角作为位移函数。图示为一简支板式桥的典型有限条。该板条的纵向挠曲形状可采用正弦函数模拟，而挠曲面的横向（x—x）截面可用连接若干个多项式函数来模拟。现将位移函数取为板划分

3、为有限条7/8/20213常数可用变形协调条件得出方程求出7/8/20214(b）能量方程典型有限条7/8/20215曲率向量7/8/20216弯矩或扭矩7/8/20217（c）刚度矩阵总势能最小势能原理7/8/20218（d）荷载向量将各单元的节点荷载用正弦级数展开。该正弦级数应在板条方向上展开并和位移函数相似，即7/8/20219单元的荷载向量均布荷载集中荷载局部均布荷载7/8/202110（e）其它支承条件的位移函数选取对于板条来说，选择合适的位移函数非常重要，一般情况下板条的位移函数可写为①两端均简支②两端均固结而是方程1-的解7/8/202111③一端简支另一端固结而

4、是方程的解，当时，④两端均自由表达式同情况②,当时,于情况2中的⑤一端固结另一端自由而是方程的解。当时，7/8/202112⑥一端简支另一端自由的表达式同情况③，当≥2时，等于情况③的(2)平面应力条（a）位移函数假定沿板的厚度方向的应力可略去不计，如图所示，则应变——变形关系应力—应变关系7/8/202113简支的矩形板边界条件位移函数7/8/202114利用条之间的变形协调关系有应力,应变7/8/202115（b）刚度矩阵和荷载向量平面应力条的应变能荷载势能刚度矩阵7/8/202116荷载向量①集中力作用7/8/202117②线荷载作用,③仅有均布载作用在整个板条上7/8/

5、202118(3)薄壳条（a）刚度矩阵和荷载向量在分析箱形梁用薄壳条，薄壳条是由板条和平面应力条组合而成。对于两边简支结构，总势能可写为位移列向量板条平面应力条7/8/202119（b）坐标转换坐标转换7/8/202120(4)连续结构分析对于连梁板或箱梁结构，可以先将中支承全部解除，代以未知反力，那么结构是在外荷载和未知反力共同作用下的简支结构，跨径为两桥台支点之距。而应满足下式只要联立有限条方程和此式进行求解即可。此法称为柔度法，求解连续结构的刚度法及支点沉降的处理可参见文献7/8/202121高级有限条上节所介绍的有限条位移函数，只能使条的横向斜率和位移在节线处（或板边）

6、连续，但条的曲率和弯矩不能满足连续条件，且自由边上的弯矩也不等于零。这个问题可通过下述两种途径来解决：（a）增加节线上的自由度；（b）在条内加入内节线，此即为高级有限条。（1）曲率连续板条如图所示，在板条节线处增加一个位移参数——横向曲率，这样，板条的横向曲率和弯矩均是连续的，其计算结果将更精确曲率连续板条7/8/202122这种板条位移可写为位移函数的曲率向量7/8/202123弯矩向量刚度矩阵7/8/202124条的荷载向量集中荷载用(2)内节线板条如图所示，在板条内增加一条内节线c，通常可将节线c放在板条中央，这样，位移函数可用5次抛物线表示为内节线板条7/8/20212

7、5刚度矩阵7/8/202126满布均布荷载向量值得注意的是，此种条元在边界上的曲率亦是不协调的，但其解的精度要高一些。因为内节线与其它条元无法连接，在装配总刚前可用静力凝聚法给出内节线的位移参数(3)内节线平面应力条如下图所示，取位移函数为7/8/202127内节线平面应力条7/8/202128刚度矩阵内节线位移参数亦可由静力凝聚法获得分析箱形梁时，可采用由高级板条和高级平面应力条组合而成的高阶薄壳条7/8/202129样条有限条法(1)样条函数三次B样条函数为函数及其一阶导数、二阶导数曲线