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时间:2018-12-04
《高三数学导数专题例题及知识点总结》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、导数专题一、导数的基本应用(一)研究含参数的函数的单调性、极值和最值基本思路:定义域→→疑似极值点→→单调区间→→极值→→最值基本方法:一般通法:利用导函数研究法特殊方法:(1)二次函数分析法;(2)单调性定义法第一组本组题旨在强化对函数定义域的关注,以及求导运算和分类讨论的能力与技巧【例题1】已知函数,求导函数,并确定的单调区间.解:.令,得.当,即时,,所以函数在和上单调递减.当,即时,的变化情况如下表:0当,即时,的变化情况如下表:0所以,时,函数在和上单调递减,在上单调递增,时,函数在和上单调递减.时,函数在和上单调递减,在上单调递增.第二组
2、本组题旨在强化对导函数零点进行分类讨论的意识、能力和技巧【例题2】已知函数的图象过点,且函数的图象关于y轴对称.(Ⅰ)求的值及函数的单调区间;(Ⅱ)若,求函数在区间内的极值.13/13解:(Ⅰ)由函数图象过点,得,………①由,得,则;而图象关于轴对称,所以-,所以,代入①得.于是.由得或,故的单调递增区间是,;由得,故的单调递减区间是.(Ⅱ)由(Ⅰ)得,令得或.当变化时,、的变化情况如下表:f'(x)+0-0+f(x)增极大值减极小值增由此可得:当时,在内有极大值,无极小值;当时,在内无极值;当时,在内有极小值,无极大值;当时,在内无极值.综上所述,
3、当时,有极大值,无极小值;当时,有极小值,无极大值;当或时,无极值.点评:本题是前面两个例题的变式,同样考查了对导函数零点的分类讨论,但讨论的直接对象变为了函数自变量的研究范围,故此题思路不难,旨在帮助学生加深对此类问题本质的认识,并提升其详尽分类,正确计算的水平.【例题3】已知函数,a>0,(I)讨论的单调性;(II)设a=3,求在区间[1,]上值域.其中e=2.71828…是自然对数的底数.解:(Ⅰ)由于,令得①当,即时,恒成立,∴在上都是增函数.13/13①当,即时,由得或∴或或又由得,∴综上,当在上都是增函数;当在及上都是增函数,在是减函数.
4、(2)当时,由(1)知,在[1,2]上是减函数,在[上是增函数.又∴函数在区间[1,]上的值域为.点评:(1)第一问在前面例题的理论基础上,进一步加大了运算的难度,涉及到了换元法,分母有理化等代数技巧;(2)第二问将问题延伸到了函数值域上,过程比较简单,是一个承上启下的过渡性问题.(二)利用函数的单调性、极值、最值,求参数取值范围基本思路:定义域→→单调区间、极值、最值→→不等关系式→→参数取值范围基本工具:导数、含参不等式解法、均值定理等【例题4】已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是.(I)求函数的解析式;(II)设函数,若的极值存在,求实数的取
5、值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.解:(I)由已知,切点为(2,0),故有,即……①又,由已知得……②联立①②,解得.所以函数的解析式为13/13(II)因为令当函数有极值时,方程有实数解.则,得.①当时,有实数,在左右两侧均有,故无极值②当时,有两个实数根情况如下表:+0-0+↗极大值↘极小值↗所以在时,函数有极值;当时,有极大值;当时,有极小值;点评:(1)本题第一问是求曲线切线的逆向设问,解题过程进一步强化了对切点的需求.(2)本题第二问是函数求极值的逆向设问,解题方法本质仍然是求含参数的函数的极值,难度不大.【例题5】设,函数.(Ⅰ)
6、若是函数的极值点,求的值;(Ⅱ)若函数,在处取得最大值,求的取值范围.解:(Ⅰ).因为是函数的极值点,所以,即,因此.经验证,当时,是函数的极值点.(Ⅱ)由题设,.当在区间上的最大值为时,,即.故得反之,当时,对任意,,13/13而,故在区间上的最大值为.综上,的取值范围为.点评:(1)本题是求函数最值的逆向问题,答案所用的解法是一种比较特殊的方法,具有一定的思维难度.(2)本题若用一般方法,则可求出g(0)=0,将问题转化为g(x)≤0的恒成立问题,此种解法的计算量将有所加大.(三)导数的几何意义【例题6】设函数,曲线在点处的切线方程为.(Ⅰ)求的
7、解析式;(Ⅱ)证明:曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值,并求此定值.解:(Ⅰ)方程可化为,当时,;又,于是,解得,故(Ⅱ)设为曲线上任一点,由知曲线在点处的切线方程为,即令,得,从而得切线与直线的交点坐标为;令,得,从而得切线与直线的交点坐标为;所以点处的切线与直线所围成的三角形面积为;故曲线上任一点处的切线与直线所围成的三角形面积为定值6.二、导数应用的变式与转化(一)函数的零点存在与分布问题问题设置:根据函数零点或方程实数根的个数求参数取值范围基本方法:通性通法:函数最值控制法特殊方法:(1)二次函数判别式法;(2)零点存在
8、性定理第一组二次函数(1)本组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的认识;13/13(1)本题旨在提升对
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