多目标及离散变量

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1、第七章多目标及离散变量优化方法简介第一节多目标优化问题在多目标优化模型中，还有一类模型，其特点是，在约束条件下，各个目标函数不是同等地被最优化，而是按不同的优先层次先后地进行优化。例如，某工厂生产:1号产品，2号产品，3号产品，…，n号产品。应如何安排生产计划，在避免开工不足的条件下，使工厂获得最大利润，工人加班时间尽量地少。若决策者希望把所考虑的两个目标函数按其重要性分成以下两个优先层次:第一优先层次—工厂获得最大利润，第二优先层次—工人加班时间尽可能地少。那么，这种先在第一优先层次极大化总利润，然后在此基础上再在第二优先层次同等地极小化工人加

2、班时间的问题就是分层多目标优化问题。以上诸例说明，实际问题中确实存在着大量多目标优化问题。由于这类问题要同时考虑多个指标，而且有时会碰到多个定性指标，且有时难于判断说那个决策更好。这就造成多目标优化问题的特殊性。多目标优化设计问题要求各分量目标都达到最优，如能获得这样的结果，当然是十分理想的。但是，一般比较困难，尤其是各个分目标的优化互相矛盾时更是如此。譬如，机械优化设计中技术性能的要求往往与经济性的要求互相矛盾。所以，解决多目标优化设计问题也是一个复杂的问题。近年来国内外学者虽然作了许多研究，也提出了一些解决的方法，但比起单目标优化设计问题来，在

3、理论上和计算方法上都还很不完善，也不够系统。本章将在前述各章的单目标优化方法的基础上，扼要介绍多目标优化设计问题的一些基本概念、求解思路和处理方法。从上述有关多目标优化问题的数学模型可见，多目标(向量)优化问题与单目标(标量)优化问题的一个本质的不同点是:多目标优化是一个向量函数的优化，比较向量函数值的大小，要比标量值大小的比较复杂。在单目标优化问题中，任何两个解都可以比较其优劣，因此是完全有序的。可是对于多目标优化问题，任何两个解不一定都可以比出其优劣，因此只能是半有序的。例如，设计某一产品时，希望对不同要求的A和B为最小。一般说来这种要求是难以

4、完美实现的，因为它们没有确切的意义。假设产品有D1与D2两个设计，A(Dl)小于全部可接受D的任何一个A(D)，而B(D2)也小于任何其它一个B(D)。设A(D1)

5、方法的如合适等约束法等。另一大类是将多目标优化问题求解时作适当的处理。处理的方法可分为两种:一种处理方法是将多目标优化问题重新构造一个函数，即评价函数，从而将多目标(向量)优化问题转变为求评价函数的单目标(标量)优化问题。另一种是将多目标(向量)优化问题转化为一系列单目标(标量)优化问题来求解。属于这一大类求解的前一种方法有:主要目标法，线性加权和法，理想点法，平方和加权法，分目标乘除法，功效系数法—几何平均法，极大极小法等等。属于后一种的有分层序列法等。此外还有其它类型的方法，如协调曲线法等等。下面简要介绍几种常用的方法。先介绍几种用评价函数处理

6、多目标优化问题的方法。有些方法，对有单目标优化基础的读者很容易理解，故不再举应用实例，对不易理解的方法，给出应用实例。主要目标法的思想是抓住主要目标，兼顾其它要求。求解时从多目标中选择一个目标作为主要目标，而其它目标只需满足一定要求即可。为此，可将这些目标转化成约束条件。也就是用约束条件的形式来保证其他目标不致太差。这样处理后，就成为单目标优化问题。一、主要目标法统一目标法又称综合目标法。它是将原多目标优化问题，通过一定方法转化为统一目标函数或综合目标函数作为该多目标优化问题的评价函数，然后用前述的单目标函数优化方法求解。其转化方法如下。1.线性加

7、权和法线性加权和法又称线性组合法，它是处理多目标优化问题常用的较简便的一种方法。这种方法因为有一定理论根据，故已被广泛应用。但这种方法的成功与否，在很大程度上取决于一个确定方向的凸性条件。如果缺乏凸性，这种方法将归于失败。所谓线性加权和法即将多目标函数组成一综合目标函数，把一个要最小化的函数F(x)规定为有关性质的联合。二、统一目标法在前面几章中研究的优化方法，主要是针对连续变量而言的。在工程优化问题中，经常会遇到非连续变量的一些参数。它们是整数变量或离散变量。整数变量如齿轮的齿数，加强肋的数目，冷凝器管子的数目，行星轮的个数等。离散变量如齿轮模数

8、、型钢尺寸以及大量的标准表格、数据等。整数亦可视为是离散数的一种特殊情形。综上所述·，离散变量是指在规定的变量界限内，只能