实验11多元函数极值与一元函数极值的比较

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1、实验11多元函数极值与一元函数极值的比较内容提要本实验通过几个具体的例子，说明多元函数极值中存在着一些与一元函数极值不同的现象，并通过图形把这些现象显示出来，从而加深对它们的理解。实验步骤1.方向导数我们知道，对于二元函数若其偏导数连续，则它在任意方向上的方向导数都存在，但是若其偏导数存在而不连续，则它在某些方向上的方向导数就可能不存在，请看下面的例子。多元函数极值与一元函数极值的比较例1（1）证明：函数在原点处连续，而且在原点处的偏导数fx和fy都存在（即沿x轴和y轴方向导数都存在），但原点处其他方向的方向导数都不存在；（2）利用计算机作出该函数在原点附近的图形，并从图上验证（1）的

2、结论。多元函数极值与一元函数极值的比较解：由于是初等函数，其定义域为R2，故函数在原点处连续，而由于而多元函数极值与一元函数极值的比较下面我们作出函数的图形，由于Mathematica中在x<0时无定义，故我们首先把函数变形为在作图，即键入：多元函数极值与一元函数极值的比较运行后即得图13，从图上看到了除x轴和y轴着两个方向以外，其它方向的铅直平面与曲面的交线在原点处均形成一个尖点，故方向导数不存在。多元函数极值与一元函数极值的比较极值例2对一元可导函数而言，如果有有限个驻点，则在两个极大值之间必存在极小值点；但一般说来这个结论对于二元连续函数不成立。考虑可导函数证明它仅有两个极大值点

3、。然后用计算机画出这个函数的图形，并从图上观察为什么会出现这个情况。解：首先我们定义函数，即键入：多元函数极值与一元函数极值的比较并运行，再求出驻点，即键入：运行后即得驻点为，而在这两点上函数值为f（-1，0）=f（1，2）=0显然这两点是最大值点，从而这两点必是极大值点。由于函数已没有其他的驻点，因而它也不可能有极小值点。下面，我们作出函数的图形，即键入：多元函数极值与一元函数极值的比较运行后即得图14（a）。为了使输出的图形更直观，我们改变观察点，即键入：运行后得图14（b）多元函数极值与一元函数极值的比较通过这两个最高点作垂直于xoy面的截面，截立体所截的截线上存在最低点，但这最

4、低点却不是整个图形的（局部）最低点。3极值与最大（小）值例3对一元连续函数而言，如果有唯一驻点，且该点是极大（小）值点，则此极大小值点必是函数的最大（小）值点；但一般而言，这个结论二元连续函数不成立。现对函数证明它有唯一驻点；且此驻点为极大值点，但此函数无最大值。然后用计算机画出这个函数的图形，并从图上观察为什么会出现这个情况。多元函数极值与一元函数极值的比较解首先我们定义函数，即键入：运行，然后我们求出该函数的驻点，因此我们键入：运行后即得到唯一的驻点（1，0）（注意，由于该函数不是多项式函数，故在解方程组时有报错信息，一般此时应该用命令“FindRoot”。多元函数极值与一元函数极

5、值的比较请读者做一下，作时请先分别定义两个偏导函数，例如定义:关于x的偏导函数可用“”），根据极值的充分条件，我们在驻点（1，0）处计算则该驻点为极值点，而此时即键入：多元函数极值与一元函数极值的比较运行可得故该驻点为极大值点，其中“/.”表示代入，上述程序即表示把x=1.y=0，代入计算相应的值。接下来，我们再来观察它的图形，即键入：多元函数极值与一元函数极值的比较运行后得图15（a）多元函数极值与一元函数极值的比较通过计算可知其极大值为2，为此我们把因变量限制在[-10，5]并改变观察概图形的视角，再作出该函数的图形，即键入：多元函数极值与一元函数极值的比较其中“ClipFill-

6、>None”表示去掉因变量范围（PlotRange->{-10,5}）后其范围以外部分图形，最后我们再改变视角作出图形，即键入：运行后即得图15（c）多元函数极值与一元函数极值的比较从图上可以看出，尽管该函数在（1，0）处有极大值却是不存在的（事实上）。这种情况的发生与例2是类似的，可见，由于多元函数自变量变化的复杂性，使多元函数的极值与一元函数的极值出现了不同的现象。