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1、§8.1向S及其线性运算1.填空题（1）点（1，1，1）关于；面对称的点为（（1，1，-1）），关于）wz面对称的点为（（-1,1,1））,关于面对称的点为（（1-1,1））.（2）点（2,-1,2）关于;c轴对称的点为（（2，1，一2））,关于y轴对称的点为（（-2-1-2））,关于z轴对称的点为（（-2,1,2））,关于坐标原点对称的点为（（—2,1,—2））.2.已知两点岣（1，1，1）和yW2（2,2，l）,计算向量的模、方向余弦和方向角.zy解：因为紙M2=（1，1，O），1=72,方向余弦为cos汉
2、=1，;/?=♦，cos/=0,方向角为汉4’713.在平囬上，求与A（l，l，l）、B（2，l，2）、C（3,3,3）等距离的点,解：没该点为（0，y，z）,则H-(y-l)2+(z-l)2=4+(3；-l)2+(z-2)2=9+(y-3)2+(z-3)2,则该点即jl+(z-l)2=4+(z-2)2'[4+(y-l)2+(z-2)2=9+(y-3)24-(z-3)2为(0,3,3)•4.求平行于向量a=2f+3y-4/t的单位向呈的分解式.解：所求的向量有两个，一个与a同向，一个与a反向.因为
3、a
4、=J22
5、+32+(-4)2=V29,所以^=±jL(2f+3J-4*).V295.己知点fi(l，-2,6)且向量巧在1轴、y轴和z轴上的投影分别为-4,4，1，求点A的坐标.解:设点焱的坐标为(X，)，，z),由题意可知(1—x-2-yfi-z)=(-4,4,1)，则x=5,y=—6,z=5，即点A的坐标为(5-6,5).§8.2数S积向S积八711.若
6、a
7、=3，
8、61=4，(a，ft)=——,=3a-2b的模.解:=(3a-26)-(3a-2b)=3a•3a—2b•3a—3a•2b+2b•2b=9
9、a
10、2-12a
11、-fe+4
12、6
13、2=9x32-12x3x4xcos-+4x42=73所以
14、c
15、=a/712.已知
16、“+厶
17、=
18、«—6
19、，证明：ab=Q.证明：由
20、a+*
21、=k—6丨，可得
22、a+6
23、2二
24、a—6I2,可知(a+b)(a+b)=(a-b)(a-b)，展开可得
25、a
26、2+1612+2a•6=
27、a
28、2+1612-2a,即4a.6=0,故a.6=0.3•oooo4.已知a=(l，2,4),b=(3-3,3),求a与6的夹角及a在上的投影.解：a如lx3+2x(-3)+4x3=9,因为71+4+16•V9+9+97§8.3曲
29、而及其方程1.填空题(1)将xOz华标面上的抛物线z2=4x绕*轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为(z2+;v2=4*)，绕z轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为(z2=4^2+/).(2)以点(2-3,2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为((x-2)2+(＞，+3)2+(z-2)2=17).(3)将坐标面的圆x2+y2=4绕x轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为(x2+y2+z2=4).2.求与点A(l，2,l)与点B(l，0,2)之比为1:2的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.解：设动点为P(%，y，z)
30、，由于
31、/M
32、:
33、PS
34、=k2，所以2*/(义_1)_+(夕_2)-+(z_l)_=」(x-1)2+()’-0)。+(z_2)2，角军之，可得3x2+3y2+3z2-6x-16y-4z+19=0(1、，，/8?2之20(%_1广+(y—一r+(z_-r=——339oonIT(l，2,与为心，半径为^的球面.333,所以所求的动点的轨迹为以点§8.4空间曲线及其方程1.填空题v=2x+1(1)二元一次方程组j在平而解析儿何屮表示的阁形是(两相y=4x-3交直线的交点(2,5)):它在空间解析儿何屮表示的阁形是(
35、两平而的交线,平行于z轴且过点(2,5,0)).(2)旋转抛物而z=x2+y2(0€zS2)在xOy面上的投影为(7=+'，2(<),在xOz面上的投影为(x2Oz面上的投z=2影为(y2SZ<2).2.求球面x2+/+z2=4与平而x+z=1的交线在xOy而上的投影方程.解：将z=代入x2+/+z2=4，得x2+y2+(l-x)2=4，因此投影方程为z=02x2-2x+y2=3I+2，2+=44.分别求母线平行于x轴、y轴及z轴且通过曲线j，的[x2-y2+2z2=0柱面方程.+2*v’2
36、+?=4解：在。巾消去；v得3/-Z2=4,即为母线平行于X轴[^2-y-+2z2=0且通过曲线的柱面方程.f2v"+=4在＜、:，中消去y得3x2+5z2=4,即为母线平行于＞，轴且[x2-y2+2z2=0通过曲线的柱而方程.+2，2+—4在乂。中消去Z得x2+5＞，2=8,即为母线平行于Z轴且lx2-r+2z2=0通过曲线的柱面方程.4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：(x-1
