平面向量知识点总结

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1、平面向量知识点总结1．向量的有关概念⑴既有大小又有方向的量叫向量．模长等于零的向量叫零向量．模长为1的向量，叫单位向量．⑵方向相同或相反的向量叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量平行．⑶方向相同且大小相等的向量叫相等向量．2．向量的线性运算向量的加法：（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.如图，已知向量、，在平面内任取一点，作，，则向量叫做与的和，记作+，即+,向量的减法：（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.已知向量、，求作向量∵(-)+=+(-)+=+=减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，作=,=,则=-（指向被减数）即a-b可以表示为从

2、向量b的终点指向向量a的终点的向量注意：用“相反向量”定义法作差向量，-=+(-)显然，此法作图较繁，但最后作图可统一∥∥-=+(-)-3．实数与向量的积⑴实数与向量的积是一个向量，记作．它的长度与方向规定如下：①

3、

4、＝．②当＞0时，的方向与的方向相同；当＜0时，的方向与的方向相反；当＝0时，＝0．⑵(μ)＝．(＋μ)＝．(＋)＝．⑶共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得．4．⑴平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使得．⑵设、是一组基底，＝，＝，则与共线的充要条件是．5．平面向量的坐

5、标运算(1)若＝(x1、y1)，＝(x2、y2)，λ∈R，则：＋＝－＝λ＝(2)已知A(x1、y1)，B(x2、y2)，则＝．(3)两个向量＝(x1、y1)和＝(x2、y2)共线的充要条件是；若，则．6．两个向量的夹角已知两个非零向量和，过O点作＝，＝，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量与的夹角．当θ＝0°时，与同向；当θ＝180°时，与相反；如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作．cos==(用坐标表示)7．两个向量的数量积的定义已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积），记作·，即·＝︱︱·︱︱cos．规定零向量与任一向

6、量的数量积为0．若＝(x1,y1)，＝(x2,y2)，则·＝．8．向量的数量积的几何意义

7、

8、cosθ叫做向量在方向上的投影(θ是向量与的夹角)．·的几何意义是，数量·等于．9．向量数量积的性质设、都是非零向量，是单位向量，θ是与的夹角．⑴·＝·＝⑵⊥·＝O⑶当与同向时，·＝︱︱·︱︱；当与反向时，·＝—︱︱·︱︱．⑷cosθ＝．⑸

9、·

10、≤︱︱·︱︱10．向量数量积的运算律⑴·＝·；⑵(λ)·＝＝·(λ)⑶(＋)·＝特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=11．设P1P2是直线L上的两点，点P是L上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个

11、实数λ使＝λ，λ叫做点P分有向线段所成比．12．设P1（x1、y1），P2（x2、y2），点P（x、y）分的比是λ时，定比分点坐标公式为，中点坐标公式：。平面向量单元练习一、选择题1．化简得（D）A．B．C．D．2．设分别是与方向的单位向量，则下列结论中正确的是（C）A．B．C．D．3．已知下列命题中：（1）若，且，则或，（2）若，则或（3）若不平行的两个非零向量，满足，则（4）若与平行，则其中真命题的个数是（C）A．B．C．D．4．下列命题中正确的是（D）A．若a×b＝0，则a＝0或b＝0B．若a×b＝0，则a∥bC．若a∥b，则a在b上的投影为

12、a

13、D．若a⊥b，则a×b

14、＝(a×b)25．已知平面向量，，且，则（C）A．B．C．D．6.下列命题中正确的是（B）A．B．C．D．二、填空题1．若=，=，则=___2．平面向量中，若，=1，且，则向量=。3．若,，且与的夹角为，则。4．把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是__圆___。5．已知与，要使最小，则实数的值为。三、解答题AGEFCBD1．如图，中，分别是的中点，为交点，若=，=，试以，为基底表示、、．解：根据图形得，∵和共线∴存在实数使∴又,∴同样∴解得综上所述：∴2．已知向量的夹角为，,求向量的模。解：∵∴∴3．已知,,当为何值时，（1）与垂直？（2）与

15、平行？平行时它们是同向还是反向？解：∵，∴==(1)∵()()∴()()=0∴∴(2)∵()()∴解得，，故平行时是反向综上所述，，故平行时是反向