平面向量知识点总结

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1、平面向量知识点总结基本知识回顾:1.向量的概念:既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素:大小、方向.2.向量的表示方法:①用有向线段表示-----(几何表示法);②用字母、等表示(字母表示法);③平面向量的坐标表示(坐标表示法):分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得,叫做向量的(直角)坐标,记作,其中叫做在轴上的坐标,叫做在轴上的坐标,特别地,,,。;若,,则,3.零向量、单位向量:①长度为0的向量叫零向量,记为;②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.(注:

2、就是单位向量)4.平行向量:①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定与任一向量平行.向量、、平行,记作∥∥.共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量.性质:是唯一)(其中)5.相等向量和垂直向量:①相等向量:长度相等且方向相同的向量叫相等向量.②垂直向量——两向量的夹角为性质:(其中)6.向量的加法、减法:①求两个向量和的运算,叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。平行四边形法则:(起点相同的两向量相加,常要构造平行四边形)三角形法则——加法法则的推广:……即个向量……首尾相连成一个封闭图形,则有……②

3、向量的减法向量加上的相反向量,叫做与的差。即:-=+(-);差向量的意义:=,=,则=-③平面向量的坐标运算:若,,则,,。④向量加法的交换律:+=+;向量加法的结合律:(+)+=+(+)⑤常用结论:(1)若,则D是AB的中点(2)或G是△ABC的重心,则7.向量的模:1、定义:向量的大小,记为

4、

5、或

6、

7、2、模的求法:若,则

8、

9、若,则

10、

11、3、性质:(1);(实数与向量的转化关系)(2),反之不然(3)三角不等式:(4)(当且仅当共线时取“=”)即当同向时,;即当同反向时,(5)平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和,即8.实

12、数与向量的积:实数λ与向量的积是一个向量,记作:λ(1)

13、λ

14、=

15、λ

16、

17、

18、;(2)λ>0时λ与方向相同;λ<0时λ与方向相反;λ=0时λ=;(3)运算定律λ(μ)=(λμ),(λ+μ)=λ+μ,λ(+)=λ+λ交换律:;分配律:()·=(·)=·();——①不满足结合律:即②向量没有除法运算。如:,都是错误的(4)已知两个非零向量,它们的夹角为,则=坐标运算:,则(5)向量在轴上的投影为:︱︱,(为的夹角,为的方向向量)其投影的长为(为的单位向量)(6)的夹角和的关系:(1)当时,同向;当时,反向(2)为锐角时,则有;为钝角时,则

19、有9.向量共线定理:向量与非零向量共线(也是平行)的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使=λ。10.平面向量基本定理:如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2。(1)不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不惟一,关键是不共线;(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式惟一.λ1,λ2是被,,唯一确定的数量。向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若A(x,y),则=(x,y)

20、;当向量起点不在原点时,向量坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1)11.向量和的数量积:①·=

21、

22、·

23、

24、cos,其中∈[0,π]为和的夹角。②

25、

26、cos称为在的方向上的投影。③·的几何意义是:的长度

27、

28、在的方向上的投影的乘积,是一个实数(可正、可负、也可是零),而不是向量。④若=(,),=(x2,),则⑤运算律:a·b=b·a,(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b),(a+b)·c=a·c+b·c。⑥和的夹角公式:cos==⑦

29、

30、2=x2+y2,或

31、

32、=⑧

33、a·b

34、≤

35、

36、a

37、·

38、b

39、。12.两个向量平行的充要条件:符号语言:若∥,≠,则=λ坐标语言为:设=(x1,y1),=(x2,y2),则∥(x1,y1)=λ(x2,y2),即,或x1y2-x2y1=0在这里,实数λ是唯一存在的,当与同向时,λ>0;当与异向时,λ<0。

40、λ

41、=,λ的大小由及的大小确定。因此,当,确定时,λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。13.两个向量垂直的充要条件:符号语言:⊥·=0坐标语言:设=(x1,y1),=(x2,y2),则⊥x1x2+y1y2=0

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