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1、完美WORD格式实变函数论课后答案第五章1第无章第一节习题1.试就上的函数和函数计算和解:回忆即(为上全体有理数之集合)回忆:可测为可测集和P129定理2:若是中测度有限的可测集,是上的非负有界函数,则为上的可测函数显然,可数，则，,从而可积由P134Th4(2)知回忆函数:在数学分析中我们知道,在有理点处不连续,而在所有无理点处连续,且在上可积,于上,故可测(P104定理3),且专业整理知识分享完美WORD格式而(可数,故)故2.证明定理1(iii)中的第一式证明:要证的是:若,都是上的非负有界函数,则下面证明之:,有下积分的定义,有的两个划分和使,此处,分别是关于和
2、关于的小和数,合并而成的一个更细密的划分,则当为关于的小和数时(用到下确界的性质和P125引理1)由的任意性,令,而得3.补作定理5中的情形的详细证明证明:令,当时,,存在,当时,专业整理知识分享完美WORD格式则存在使(利用有限时的结论,Th5中已详证)由的任意性知证毕.4.证明:若是上的非负函数,,则证明:令,则可测，故（）都是可测集，由P135Th4(2)和，非负知故；同理故故从非负，，知于.证毕.5．证明：当时，上的非负函数的积分的充要条件是证明：令，，专业整理知识分享完美WORD格式当，非负，故从知，而注意由单调收敛定理和可测知所以，若，则有则，故充分性成立.
3、为证必要性，注意，令，则专业整理知识分享完美WORD格式（）证毕.注意以上用到正项二重级数的二重求和的可交换性，这可看成是定理的应用，也可看成是基本定理的应用，或定理的应用.是上的一个测度（离散的），为自然数集，看成，也可这样设，则，令，，令，同理，，则，为简单函数，，则可测6.如果都是上的非负可测函数，并且对于任意常数都有专业整理知识分享完美WORD格式则证明：若存在使，则结论成立.故，，，则，及，令及则，互不相交同样，，互不相交令，则，都是非负简单函数，且均为单调不减关于，，注意到故故由定理知专业整理知识分享完美WORD格式7．设，是上的有界非负可测函数，，使，证明
4、：证明：显然，由可测于知，是可测集（）且，又在上表明记（大和数），（小和数）则从有界可测知在上可积（P129Th2），故，又从知，则（从知）故8．设，是上的非负可测函数，，，证明：专业整理知识分享完美WORD格式证明：由本节习题5知，则，故(1)反证设，则使，使，所以,显然从知得矛盾所以9．设是上的非负可测函数，，对任意的，令证明：是上的连续函数证明：显然为可测集；又在上非负可测，故，在上也可测，且，故是上有定义的函数1）先设于上，此时有（当）专业整理知识分享完美WORD格式这里最好是用来看.（下一节！）也可这样看，，而，故得不出结果！则当时则是连续的对一般可测函数，令
5、，则可测于，且于，单调不减，故由定理知，使对上述固定的，是连续于上的则，当时专业整理知识分享完美WORD格式则当时，则从而在上连续得证.10．证明：若非负可测函数在上的积分，则对任意，都有的可测集，使证明：由第9题知，在本题条件下是上的连续函数若，则任取一单点，，则，即若，则取，则若注意到，（的边界）满足专业整理知识分享完美WORD格式若，，则而，故则充分大时，另一方面，（当有界时，）一般，，，使，，又，当时，当时，当时故由连续函数的中介值定理知，存在使，令，则，，证毕.11．设，是的个可测子集，正整数，证明：若中每一点至少属于个，则有，使专业整理知识分享完美WORD格
6、式证明：反证，设有，则由于，至少属于个，故（），而，故得矛盾所以使.（徐森林书P242）12.设，且在上可测，证明：对任意，都有，使只要，，便有证明：反证，设，但令；则，都是可测集，且从知（，互不相交）所以使，故在上，专业整理知识分享完美WORD格式所以，得得矛盾，故结论不成立时，，，结论不会成立13．设，是上的有界非负可测函数，证明有上的非负单调不增函数使对任意常数都有，进而证明证明：，令且，显然是上的非负单调不增函数，因为，，从而注意，从而（1）又由定理知是右连续的，则，，故从右连续知即专业整理知识分享完美WORD格式（2）令，则从非增，知（3）事实上，则，则，故故
7、从（1）知，从（3）若，则：由（2）（注意单调不增！）由之任意性知，所以即注意：时，故当时当时，.所以有.令即证明了本题的第一部分.记且专业整理知识分享完美WORD格式故，有14.设都是的非负可测函数，，（），并且有使，举例说明，当恒为时，上述结论不成立.证明：证明：令，则非负可测，且，，对用定理得，即，成立.反例：令可测，，于上，则于上，于上，且，15.设是可测集上的非负可测函数，如果对任意，都有则几乎处处等于一可测集合的示性函数.证明：令，，，，则专业整理知识分享完美WORD格式由于非负可测，故（）也非负可测，故由引理知故，从而有而在
